2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破：分式与分式方程特殊平行四边形课件

第一章　特殊平行四边形 ⁠ 考点一　特殊平行四边形的性质与判定 典例1　（2022·雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点， 且BE＝DF.　 （典例1图） （1） 求证：△ABE≌△CDF. （2） 若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积. 思路导引　（1） 由正方形的性质通过SAS可证.（2） 由正方形的性质证明四边形AECF是菱形，再由菱形的对角线互相垂直求出四边形AECF的面积即可. 规范解答　（1） ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠ABE＝∠CDF. 又∵ BE＝DF， ∴ △ABE≌△CDF. （2） 连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO. 又∵ BE＝DF，∴ OE＝OF. 又∵ AO＝CO，∴ 四边形AECF是平行四边形. ∵ AC⊥EF，∴ 四边形AECF是菱形. ∵ 在正方形ABCD中，AB＝BC＝3， ∴ BD＝AC＝＝6. ∵ BE＝DF＝2，∴ EF＝BD－BE－DF＝2. ∴ 四边形AECF的面积＝AC·EF＝×6×2＝6 方法归纳 四角度把握特殊平行四边形的性质与判定 　　对于矩形、菱形、正方形，首先要明确其从属关系，然后要借助其中心对称性或轴对称性理解其性质、判定，再从对边、对角、对角线三个角度进行把握，最后要掌握各自的结构特点，矩形、菱形、正方形都被一条或两条对角线分成一对或两对全等的等腰三角形或直角三角形，解决相关问题常用到等腰三角形或直角三角形的性质与判定，必要时可添加辅助线解决问题. ⁠ 1. （2022·张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD，交OE的延长线于点F，连接DF. （1） 求证：△ODE≌△FCE. 解：（1） ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE.又∵ CF∥BD， ∴ ∠ODE＝∠FCE.在△ODE和△FCE中， ∴ △ODE≌△FCE. （第1题） （2） 试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程. 解：（2） 四边形ODFC为矩形.由（1），得△ODE≌△FCE. ∴ OE＝FE.又∵ DE＝CE，∴ 四边形ODFC为平行四边形.∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AC⊥BD，即∠DOC＝90°.∴ 四边形ODFC为矩形. （第1题） 考点二　直角三角形斜边中线的性质 典例2　（2023·宁波北仑期中）如图①，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，连接BE，DG⊥BE于点G，BD＝AE.　 （典例2图） （1） 求证：BG＝EG. （2） 若AD＝6，CD＝8，求BE的长. 思路导引　（1） 连接DE.先根据直角三角形斜边中线的性质证明△BDE是等腰三角形，再由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.（2） 过点E作EF⊥BC于点F.求出EF，BF的长，即可解决问题. 规范解答　（1） 如图②，连接DE. ∵ AD是边BC上的高，∴ ∠ADC＝90°.又∵ E是边AC的中点， ∴ DE＝AE＝CE. ∵ BD＝AE，∴ BD＝DE， 即△BDE是等腰三角形. ∵ DG⊥BE，∴ BG＝EG. （2） 如图②，过点E作EF⊥BC于点F. ∵ AD＝6，CD＝8， ∴ AC＝＝10. 由（1），得DE＝AE＝CE. ∴ CE＝AC＝5. ∵ CE＝DE，EF⊥BC， ∴ CF＝DF＝CD＝4. ∴ EF＝＝3.又∵ BD＝AE＝CE＝5，∴ BF＝BD＋DF＝9. ∴ BE＝＝3. 方法归纳 “中点三定理”及应用技巧 　　与中点有关的知识有直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形三线合一的性质等，有时综合几种知识于同一题中，要注意灵活应用，快捷解决问题.必要时可添加辅助线，构造相关性质的基本图形. ⁠ 2.（2022·巩义期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　C　） A. 72 B. 24 C. 48 D. 96 （第2题） C 3. 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点.求证：MN⊥BD. （第3题） 解：如图，连接BM，DM.∵ ∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴ BM＝AC，DM＝AC.∴ BM＝DM.∵ N是BD的中点，∴ MN⊥BD. ⁠ 1.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA，则四边形AOED的周长为（　B　） A. 9＋2 B. 9＋ C. 7＋2 D. 8 （第1题） B 2. （2022·青岛模拟）如图，