2023～2024学年下学期苏科版数学中考复习专题讲义（专题18-圆的切线证明）

2023-2024学年苏科版数学中考复习专题讲义 （专题18-圆的切线证明） 知识梳理 【考点一】直线与圆的位置关系 1.直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 2.判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离 【考点二】切线的性质与判定 1.切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3.常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 4.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 【考点三】三角形的内切圆和内心 1.三角形的内切圆： 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 ( B O A D ) 中考真题 1. (2022连云港市中考真题)如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，连接，与⊙交于点，连接．若，则_________． 2. (2022淮安市中考真题)如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 3. （2023江苏扬州中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 4.（2023淮安市中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积． 5.（2023江苏盐城中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求半径长． 6.（2022宿迁市中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点． （1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 7.（2023连云港市中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 8.（2023年南通市中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 9.（2022苏州市中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 10.（2023江苏宿迁中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________． 从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）前提下，若，，求阴影部分的面积． 中考模拟 一、选择题（共5题） 1.已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝50°，则∠B的大小等于（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 3．（2023苏州吴中区一模）如图，AB是⊙O的直