(典例创新讲义)容斥原理(奥数培优)-2023-2024学年六年级下册小升初数学思维拓展提升讲义（通用版）

容斥原理 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C 1．实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 2．某班四年级时、五年级时、六年级时分别评出10名三好学生，又已知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级和六年级均评上三好生5人，四、五、六年级没评过三好生的有20人，则这个班最多有几个同学，最少又有几个同学？ 3．有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀．第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人．只有两次达到优秀的有多少人? 4．王阿姨的水果店昨天卖出的水果品种有：苹果、梨、香蕉、桃子、西瓜、山竹，今天卖出的水果品种有：苹果、梨、西瓜、樱桃、荔枝、葡萄．两天一共卖了多少种水果？ 5．芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 6．把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？ 7．某教工小区居民55人中，懂英语的有42人，懂日语的有10人，两种语言都懂的有6人，还有几人两种语言都不懂？ 8．蔡老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人．问： （1）第二题做对第一题做不对有多少人？ （2）两题都做不对的有多少人？ 9．小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个．这队小朋友共有多少人？ 10．小红统计全班46人所喜欢的科目,其中有22人喜欢语文,30人喜欢数学,10人既喜欢语文,又喜欢数学,既不喜欢语文又不喜欢数学的有多少人? 11．在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？ 12．盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要。 13．把2张长度都是10厘米的彩纸重叠粘贴在一起（如图），重叠部分长多少厘米？如果3张彩纸同样重叠，重叠后的彩纸一共长多少厘米？ 14．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人。其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人。而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？ 15．某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 16．一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人。这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 17．名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人。问：两门都在分以上的有多少人？ 18．在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人带了芝士蛋糕，有个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕。问： （1）三种都带了的有几人？ （2）只带了一种的有几个？ 19．六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球．全班喜欢