专题强化一：（特殊）平行四边形六大模型题型归纳-2023-2024学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化一：（特殊）平行四边形六大模型题型归纳 题型归纳 题型一：中点四边形 1．（2020·上海徐汇·二模）下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 2．（20-21八年级下·山东德州·期末）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 3．（20-21八年级下·河北石家庄·期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 题型二：十字架模型 4．（20-21八年级下·全国·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（18-19八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是 ． 6．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    题型三：对角互补模型 7．（20-21八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为 8．（20-21九年级下·辽宁大连·期中）如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点． 　　　 （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）探索，，之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系． 9．（2021八年级·全国·专题练习）已知：，求证：． 题型四：中位线模型 10．（2020·江苏南通·一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于 ． 11．（八年级下·山西吕梁·期末）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为 ． 12．（18-19八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE． （1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F． ①求证：CF=CE； ②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长； （2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示． （3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值． 题型五：与正方形有关的三垂线问题 13．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 14．（2020·天津北辰·二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点． (1)如图1，当OP=时，求点Q的坐标； (2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标； (3)当BP+BQ=时，直接写出点Q的坐标． 15．（20-21八年级下·山西·期末）综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试