第4章 5 相似三角形判定定理的证明-【优鸿】九年级上册数学同步提分练(北师大版)

初中数学·九年级上册 难度1 第四章 图形的相似 ~4.5 探索三角形相似的条件（三）及判定定理的证明 1. 如图所示， 是 直角边 上一点，若过 点的直线交 于点 ，使得到的三 角形与原三角形相似，则这样的直线有（    ）. A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 2. 判定 与 是否相似. 和 中， ， ， ， ，         . 3. 一个直角三角形两条直角边的长分别为 ，另一个直角三角形两条直角边的长分 别为 ，这两个直角三角形是否相似?为什么? 4. 如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 ， 固定在乐器面板上，支撑点 是靠近 点 的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点.试确定支撑点 到端点 的距离以 及支撑点 到端点 的距离. ， ， 参考答案 1 B 2 相似 3 相似；理由：两直⻆边对应成⽐例 4 ； 初中数学·九年级上册 难度2 第四章 图形的相似 ~4.5 探索三角形相似的条件（三）及判定定理的证明 1. 判定下列各题中 与 是否相似. (1) 的两边长分别是 和 ， 的两边长分别是 和 ，夹角都 是 .        ； (2) 的三边长分别是 ， 的三边长分别是 .         ； (3)腰长都是 ，有一个角是 的两个等腰三角形.        ； (4) 和 中， ， ， ， .        . 2. 如图所示是一个杯子，厂方为了美化杯子，决定在离杯子底端较近的表面刻上一点装饰花 纹，当装饰花纹刻在什么位置时给人的视觉才是最美的？请你确定刻花纹的位置. 3. 如图，已知正方形 的边长是 ， 是 边的中点，点 在线段 上，当         时，三角形 与三角形 相似． 、 、 、 、 ， 4. 如图所示的 个三角形中，哪些三角形相似? 参考答案 1 （1）相似 （2）相似 （3）不⼀定相似 （4）相似 2 刻花纹的地⽅到杯⼦顶部的距离与杯⾼ 的⽐值约为 时，杯⼦更美观 3 或 4 ①⑤ 初中数学·九年级上册 难度3 第四章 图形的相似 ~4.5 探索三角形相似的条件（三）及判定定理的证明 1. 如图，已知 ， ， ，以 为边作矩形 ，使 ，过 点 作 垂直于 ，交 的延长线于点 ． (1)证明： ∽ ； (2)当 为何值时， 与 全等？ 2. 宽与长之比为 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调， 匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形 吗？ 3. 根据题意解答下列问题： (1)如图 ，在 中，点 分别在 上，且 交 于点 .求证： ； ① ， ， ， ， ， (2)如图 ，在 中， ，正方形 的四个顶点在 的边上， 连接 分别交 于 两点. 若 ，直接写出 的长； 求证： . ② ， ， ① ② 参考答案 1 （1）证明： ∵ ， ， ∴ .
∴ 与 都是直⻆三⻆形. ∵矩形 中， ， ∴ . ⼜∵在 中， ， ∴ . ∴ ∽ . （2） 2 是 3 （1）由题意知，点 在 上，点 在 上， ∵ ， ∴ ， 也就是说，在
中， . ∴
∽ . ∴ . 由题意知，点 在 上，点 在 上， ∵ ， ∴ ， 也就是说，在
中， . ∴ ∽ . ∴ . ⼜∵ ， ∴ . （2） ； 证明：∵四边形 是正⽅形， ∴ ， . 由图可知， 与 互为邻补⻆， 与 互为邻补⻆， ① ② 故， ， . ∵ ， ， ∴ ， . ∴ ， 都是直⻆三⻆形. ∵ , ∴ 是直⻆三⻆形. ∴ . ⼜∵ , ∴ . ∴ . 在直⻆ 和直⻆ 中， ∴ ∽ . ∵四边形 是正⽅形， ∴ . ∵四边形 是正⽅形， ∴ . 由图可知，点 在 上， ∴ . ∴由上⼀问的证明过程同理可得， . ∴ . ，