第1章 3 正方形的性质与判定-【优鸿】九年级上册数学同步提分练(北师大版)

初中数学·九年级上册 难度1 第⼀章 特殊的平⾏四边形 正方形的性质与判定（一） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ）. A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 每条对角线平分一组对角 2. 如图，正方形 中， ， 是 上任意一点， 于点 ， 于点 ，则          ．可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到 两对角线的距离之和等于             ． 3. 如图，正方形 的边长为 ，则图中阴影部分的面积为         . 4. 如图所示，点 ， ， 分别是 的边 ， ， 的中点，连接 ， ， ，要使四边形 为正方形，还需增加条件         . 5. 一个正方形的两条对角线有什么位置关系？画一画，量一量. 6. 如图，点 分别在直线 和 上，点 是 轴上的两点，已知四边形 是正方形，求 值． ， ， 参考答案 1 B 2 ；对⻆线⻓的⼀半 3 4 是等腰直⻆三⻆形 5 正⽅形的两条对⻆线互相垂直 6 初中数学·九年级上册 难度2 第⼀章 特殊的平⾏四边形 正方形的性质与判定（一） 1. 在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为（    ）. A. B. C. D. 2. 一个正方形绕它对角线的交点旋转，若它能够与本身重合，则正方形应该旋转（    ）. A. B. C. D. 其他三个选项的答案都对 3. 如图，过正方形 的顶点 作直线 ，过 、 作 的垂线，垂足分别为 、 .若 ， ，则 的长度为        . 4. 如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱形吗?一定是 正方形吗? 5. 如图， 是正方形 的边 上的一点，延长 到点 ，使 .连接 并延 长交 于点 . (1)求证： ≌ ； (2)将 绕点 顺时针旋转 得到 ，判断四边形 是什么四边形，并 说明理由. 参考答案 1 A 2 D 3 4 不⼀定是菱形；不⼀定是正⽅形 5 （1）∵四边形 是正⽅形， ∴
，即 ， . 由题意知， 与 互为邻补⻆. ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . （2）平⾏四边形 （ ） 初中数学·九年级上册 难度3 第⼀章 特殊的平⾏四边形 正方形的性质与判定（一） 1. 如图，已知面积为 的正方形 的对角线相交于点 ，过点 任作一条直线分别交 于点 ，则阴影部分的面积是         ． 2. 如图，以边长为 的正方形 的对角线 为边作第二个正方形 ，再以第二个 正方形的对角线 为边作第三个正方形 ，如此下去 ． (1)记正方形 的边长为 ，依上述方法所作的正方形的边长依次为 ， ， ， ， ，求出 ， ， 的值； (2)根据以上规律写出第 个正方形的边长 的表达式． 3. 如图，在一正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ． (1)求证： ≌ ； (2)延长 交 于点 ，若 ，求 的度数. ， ， ， 4. 如图，点 分别是正方形 的边 和 的中点， 和 交于点 ．求证： ． 5. 如图，四边形 是一个正方形， 是 延长线上一点，且 ，求 的 度数. 、 参考答案 1 2 （1） ； ； （2） 3 （1）∵四边形 是正⽅形， ∴ ， . ∵在 与 中， ∴ ≌ . （2） 4 ∵四边形 是正⽅形， ∴ ， . ∵点 分别是正⽅形 的边 和 的中点， ∴ ， ， ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . 由图可知， . ∴ . ∵由图可知， 是 的⼀个外⻆， ∴ . 延⻓ 与 的延⻓线交于⼀点 ，如图： ， ， ， 、 ∵四边形 是正⽅形， ∴ ，即 . ∴ ， . ∵点 是 的中点， ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . ⼜∵ ， ∴ ， ∴点 是 的中点， 是 中 边上的中线. ∵ ， ∴ 是直⻆三⻆形， 是斜边. ∵ 是 中斜边 边上的中线， ∴ . 5 初中数学·九年级上册 难度1 第⼀章 特殊的平⾏四边形 正方形的性质与判定（二） 1. 下列说法：①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对 角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线互相垂直平分的四边形是正方形．其中错误的有 （      ）. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知在四边形 中， ，如果添加一个条件即可推出该四边形 是正方形，那么这个条件可以是（    ）. A. B. C. D. 3. 如图，在 中， 平分 ，过点 分别作 ， ，分别交 ， 于点 ， ，当 满足         时，四边形 是正方形. 参考答案 1 A 2 B 3 初中数学·九年级上册 难度2 第⼀章 特殊的平⾏四边形 正方