第1章 2 直角三角形-【优鸿】八年级下册数学同步提分练(北师大版)

初中数学·八年级下册 难度1 第⼀章 三⻆形的证明 直角三角形 1. 下列定理中，没有逆定理的是（    ）. A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 2. 下面命题成立，写出它的逆命题．逆命题成立吗? 如果两个角是直角，那么它们相等. 3. 已知：如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ，若 用 证明 ≌ ，需添加什么条件?并写出你的证明过程. 4. 如图所示，在四边形 中， ， ， ，四边形 的周长为 ，求四边形 的面积( ). 5. 在 中， ， ， 为 延长线上一点，点 在 上，且 ． (1)求证： ≌ ； (2)判断直线 和直线 的位置关系，并说明理由． 6. 两个全等的含 ， 角的三角尺 和三角尺 按如图的位置摆放， ， ， 三点在一条直线上，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．试判断 的形 状. 参考答案 1 C 2 逆命题：如果两个⻆相等，那么它们是直⻆；不成⽴ 3 4 5 （1）证明： ∵ ， 为 延⻓线上⼀点， ∴ . ∴ 和 是直⻆三⻆形. ∵在 和 中， ∴ ≌ . （2） 6 等腰直⻆三⻆形 初中数学·八年级下册 难度2 第⼀章 三⻆形的证明 直角三角形 1. 下述命题成立，写出它的逆命题．逆命题成立吗? 全等三角形的对应边相等. 2. 如图，点 ， 在 上，连接 并延长到 ，连接 ， ，且 ， ，求 的长. 3. 如图， 于点 ， ， . (1)请说明 ； (2)猜想并说明 和 有何特殊关系． 4. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形 为勾股四边形． (1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称         ，         ； (2)如图，将 绕顶点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，已知 .， ， ①求证： 是等边三角形； ②求证： ，即四边形 是勾股四边形． 5. 如图，在 中， ， 分别是 ， 两条边上的高，在 上截取 ， 在 的延长线上截取 ，连接 和 ，则 与 有何关系?试证明你的结 论. 参考答案 1 三边对应相等的两个三⻆形是全等三⻆形；成⽴ 2 3 （1）∵
， ∴
， ∴ 和 都是直⻆三⻆形. ∵在 和 中， ∴ ≌ ， ∴ . （2）由 知: ∵ ≌ ， ∴ . 4 （1）正⽅形、矩形 （2） ∵ 绕顶点 按顺时针⽅向旋转 得到 , ∴ ≌ . ∴ . ∴ 是等腰三⻆形. ∵ ， ∴ 是等边三⻆形. ∴ ,
. ∵ ， ∴ ∴ 是直⻆三⻆形. 在
中， 由勾股定理得：
. ⼜∵
旋转得到 ， ∴ ≌ . ∴ . 把
,
代⼊
得： . 由图知：
是四边形
的相邻两边， 是四边形 的⼀条对⻆ 线， 且
. 根据已知定义若⼀个四边形中存在相邻两边的平⽅和等于⼀条对⻆线的平⽅，则称该四 边形为勾股四边形， 所以四边形 是勾股四边形. 5 相等且垂直 初中数学·八年级下册 难度3 第⼀章 三⻆形的证明 直角三角形 1. 下述命题成立，写出它的逆命题．逆命题成立吗? 如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 2. 如图， ， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 . (1)求证： ； (2)试判断 与 的位置关系. 3. 如图所示，在梯形 中， ，对角线 ，两底 的 和为 . (1)试说明： ； (2)求梯形 的面积. 4. 如图，在四边形 中，对角线 交于点 ，  ， ．求 的长和四边 形 的面积． ， 、 ， 5. 如图，在 中， , 的垂直平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， . (1)求 的度数； (2)若将 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小； (3)你发现了怎样的规律？ (4)将 中的 改为钝角， 中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改？ 参考答案 1 如果两个实数的平⽅相等，那么这两个数相等；不成⽴ 2 （1）∵ ， ， ∴ . ∵在 和 中， ∴ ≌ ∴ . （2）互相垂直 3 （1）延⻓ 到点 ，使 ，连接 ,如图所⽰： ∵ ， ∴
. ∵ 和 是⼀对内错⻆， ∴
(两直线平⾏，内错⻆相等). 在 和 中， ∴ ≌ . ∴ ,
. ⼜∵
， ∴
. ∵
， ∴
. ∵两底 的和为 ，
， ∴
， ∴
， ∴
， ∴ 是直⻆三⻆形. ， ， 、 ∴ . ∴
. ⼜∵
， ∴
. ∴ 是直⻆三⻆形. ∴
， ∴ . （2） 4 ，四边形 的⾯积 5 （1） （2） （3） （4）成⽴