第十七章 勾股定理 河南中招核心素养提升专练(二)-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(人教版)

河南中招核心素养提升专练(二) 数学 八年级下册 全国版 原创新课堂 1．如图AB，BC，CD，DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，其中，BC⊥CD，点A，C，E共线．若AC＝6 cm，则线段CE的长度是 ____ cm. 8 2 2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 ______． 60 3 3．问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处).如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 eq \f(7,2) (1)△ABC的面积为 ___； 思维拓展： (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为 eq \r(2) ， eq \r(13) ， eq \r(17) ，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的△ABC.并求出它的面积； 探索创新： (3)若△ABC三边的长分别为 eq \r(5) a，2 eq \r(2) a， eq \r(17) a(a＞0)，请利用图③的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (4)若△ABC三边的长分别为 eq \r(m2＋16n2) ， eq \r(9m2＋4n2) ，2 eq \r(m2＋n2) (m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法求出这个三角形的面积． 解：(2)如图②，△ABC如图所示．S△ABC＝2×4－ eq \f(1,2) ×2×3－ eq \f(1,2) ×4×1－ eq \f(1,2) ×1×1＝ eq \f(5,2) 　 (3)如图③，△ABC即为所求．S△ABC＝2a×4a－ eq \f(1,2) ×2a×2a－ eq \f(1,2) ×2a×a－ eq \f(1,2) ×4a×a＝3a2 (4)如图④，△ABC即为所求．S△ABC＝3m×4n－ eq \f(1,2) ×3m×2n－ eq \f(1,2) ×2m×2n－ eq \f(1,2) ×4n×m＝5mn 4．【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3，4，5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4＝ eq \f(1,2) (9－1)，弦5＝ eq \f(1,2) (9＋1)；当勾为5时，股12＝ eq \f(1,2) (25－1)，弦13＝ eq \f(1,2) (25＋1)；当勾为7时，股24＝ eq \f(1,2) (49－1)，弦25＝ eq \f(1,2) (49＋1). 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝____________，弦＝____________ eq \f(1,2) (n2－1) eq \f(1,2) (n2 + 1) 【问题解决】 (2)哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：若a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m为大于1的整数)，则a，b，c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； (3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 解：(2)∵a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m表示大于1的整数)，∴a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2＝c2，∴a2＋b2＝c2，∴a，b，c为勾股数　(3)∵弦与股的差为1，2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，∴另外两个数的表达式分别是2a2＋2a；2a＋1 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)求AC＋CE的最小值； (