第19章 专题课堂(十) 矩形的折叠问题-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(华东师大版)

数学 八年级下册 华师版 原创新课堂 专题课堂(十)　矩形的折叠问题 类型一　沿矩形对角线所在直线对折 1．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为点C′.若∠ADC′＝20°，求∠BDC的度数． 解：由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′，则∠ADB＝∠BDC′－∠ADC′＝∠BDC－20°，∵∠ADB＋∠BDC＝90°，∴∠BDC－20°＋∠BDC＝90°，∴∠BDC＝55° 2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.求证：EF＝DF. 证明：由折叠和矩形的性质可知∠D＝∠B＝∠E，AE＝AB＝CD.在△AEF和△CDF中，∵∠E＝∠D，∠AFE＝∠CFD，AE＝CD，∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF＝DF 3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝ eq \f(25,4) cm，求AD的长． 解：由折叠的性质和平行线的性质可知∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴DF＝CD－CF＝ eq \f(7,4) ，在Rt△ADF中，AD＝ eq \r(AF2－DF2) ＝6 cm 4．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD相交于点E.若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值，并说明它是定值． 解：如图，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.由折叠的性质可知∠1＝∠2.又∵PG⊥AB′，∴PM＝PG.∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，DE＝3，∴CD＝AB＝8，CE＝CD－DE＝5.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝5.在Rt△ADE中，AD＝ eq \r(AE2－DE2) ＝ eq \r(52－32) ＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.∵AD边的长是固定不变的，∴PG＋PH的值是定值 类型二　沿仅过矩形一个顶点的直线对折 5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长． 解：在Rt△ABD中，BD＝ eq \r(AB2＋AD2) ＝5，由折叠的性质可得，△ADG≌△A′DG，∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，A′B＝BD－A′D＝2，BG＝4－A′G，在Rt△A′BG中，(4－A′G)2＝A′G2＋22，解得A′G＝ eq \f(3,2) ，∴AG＝ eq \f(3,2) 6．如图，折叠矩形ABCD，使顶点D与BC边上的点F重合．如果AB＝6，AD＝10，求BF，DE的长． 解：由折叠的性质，得△ADE≌△AFE，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，BF＝ eq \r(AF2－AB2) ＝8，∴CF＝10－8＝2，在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，即(6－DE)2＋22＝DE2，解得DE＝ eq \f(10,3) 7．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积． 解：由折叠的性质，得△ADE≌△AFE，∴AF＝AD，EF＝DE＝DC－CE＝5 cm，∴在Rt△CEF中，CF＝ eq \r(EF2－CE2) ＝4 cm，设BF＝x cm，则AF＝AD＝BC＝(x＋4)cm，在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，即82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，故BC＝10，∴阴影部分的面积为10×8－2S△ADE＝80－50＝30(cm2) 类型三　沿矩形对角线的垂直平分线对折 8．把一张矩形纸片ABCD按图所示方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，求重叠部分△DEF的面积． 解：由折叠的性质，得A′D＝AB＝3 cm，A′E＝AE，设AE＝x cm，则A′E＝x cm，DE＝(5－x)cm，在Rt△A′ED中，A′E2＋A′D2＝DE2，即x2＋9＝(5－x)2，解得x＝1.6，∴DE＝5－1.6＝3.4(cm)，∴△DEF的面积为 eq \f(1,2) ×3.4×3＝5.1(cm2) 9．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A，C两点重合，点D落在点G处． (1)求证：△ABE≌△AGF； (2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC.又∵∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF.由折叠及矩形的性质，得AG＝CD＝AB，∠G＝∠D＝∠B＝90°.在Rt△ABE和Rt△AGF中，∵AB＝AG，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)