第19章 矩形、菱形与正方形 河南中招素养提升专练(四)-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(华东师大版)

数学 八年级下册 华师版 原创新课堂 河南中招素养提升专练(四) ① 1．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10. (1)若G，H分别是AD，BC的中点，则下列关于四边形EGFH(E，F相遇时除外)的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是 ______；(直接填序号，不用说理) (2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 解：(2)连结GH，由(1)得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图①，当四边形EGFH是矩形时，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6，∴t＝2； ②如图②，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6，∴t＝8.综上，四边形EGFH为矩形时t的值为2或8 2．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证： (1)△AOE≌△COF； (2)四边形AFCE是菱形． 证明：(1)四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF(AAS)　(2)∵△AOE≌△COF，∴OE＝EF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∴▱AFCE是菱形 3．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由． 解：(1)连结AC，∵BD也是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC　(2)解：点F是线段BC的中点．理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，又∵∠BAF＝∠BAC－∠CAF＝30°，∴∠EAC＝∠BAF，∴AF是△ABC的角平分线，∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC的BC边上的中线，∴点F是线段BC的中点 4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE. (1)求证：CE＝CF； (2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，∴∠CDF＝180°－∠CDA＝90°，∴∠B＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴CE＝CF　(2)GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CF，,∠GCE＝∠GCF，,GC＝GC，)) ∴△ECG≌△FCG(SAS)，∴GE＝GF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD 5．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F. (1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 解：(1)∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF　(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝ eq \f(1,2) ∠BCD＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝ eq \r(122＋52) ＝13，由(1)知OC＝OE＝OF，∴OC＝ eq \f(1,2) EF＝6.5　(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形 6．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F. (1)取AB的中点H，连结HE，求证：AE＝EF； (2)如图②，若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然