6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 六 章 计数原理 6.1.2分类加法原理与分步乘法计数原理的应用 2.区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 两个原理的联系与区别 1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 温故知新 例1.高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( ) A.360种 B.420种 C.369种 D.396种 解析 法一 (直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为四类: ①四个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况; ②有三个班级去甲工厂,剩下的班级去另外四个工厂,其分配方案共有4 4=16(种); 题型一 分配与抽取问题 ③有两个班级去甲工厂,另外两个班级去其他四个工厂,其分配方案共有6 4 4=96(种); ④有一个班级去甲工厂,其他班级去另外四个工厂,其分配方案有4 4 4 4=256(种). 综上所述,不同的分配方案有1+16+96+256=369(种). 法二 (间接法) 先计算四个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即:5 5 5 5-4 4 4 4=369(种)方案. 答案 C 方法解析 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 练习:有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是( ) A.11 B.10 C.9 D.8 C 练习:有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是( ) A.11 B.10 C.9 D.8 C 例2.用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以排成多少个无重复数字四位密码? (2)可以排成多少个四位数? (3)可以排成多少个四位奇数? 题型二 组数问题 (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分为四步: 第一步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法; 第二步,选取左边第二个位置上的数字,有4种选取方法; 第三步,选取左边第三个位置上的数字,有3种选取方法; 第四步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法. 由分步乘法计数原理,可以组成不同的四位密码共有 N =5X4X3X2= 120(个) (2)法一(直接法):完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四步: 第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有4种不同的选取方法; 第二步,从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字,有4种不同的选取方法; 第三步,从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字,有3种不同的选取方法; 第四步,从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字,有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理,可以组成不同的四位数共有N=4X4X3X2=96(个). 法二(间接法):将5个数字不重复排在4个位置上有5X4X3X2=120种排法,其中不合要求的有4X3X2 =24种排法,所以排成无重复数字的四位数为120- 24=96(个). (3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步: 第一步,定个位,只能从1,3中任取一个 有2种方法; 第二步,定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个,可任取一个 有3种方法; 第三步,第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2X3X3X2=36(个), 方法解析 对于组数问题,应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成,如果正面分类较多,可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排