2024年中考数学一轮总复习 课件: 微专题9　圆中常见辅助线的作法

　圆中常见辅助线的作法 1 类型1构造等腰三角形 遇求值,连半径,构造等腰三角形,利用等腰三角形及圆的相关定理来解决. 图示 辅助线作法 关系式 相关知识   连接圆心和弦的两个端点作圆的半径 ∠OAB =∠OBA 等边对等角,圆周角定理及推论 1.(2023·中山三模)如图,△ABC内接于☉O,∠A=68°,则∠OBC等于( A ) A.22° B.26° C.32° D.34° 2.(2023·巴中)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO等于( D ) A.25° B.50° C.60° D.65° 类型2构造直角三角形 (1) 遇弦常过圆心作弦的垂线或连半径,利用垂径定理将问题转化为直角三角形的问题解决. 图示 辅助线作法 关系式 相关知识   过圆心作弦的垂线段,再连接半径,构造直角三角形 AC=BC, OB2= BC2+OC2 垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、一元二次方程   连接弦所对的弧的中点与圆心,再连接半径构造直角三角形 3.如图,☉O的直径为10 cm,弦AB为8 cm,P是弦AB上一点且不与点A,B重合.若OP的长为整数,则符合条件的点P有( B )   A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(2023·广安)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7, ∠BAC=60°,则弦BC的长度为　　 .  5.已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦, AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为　1或7　cm.  解析:过点O作OE⊥AB于点E,直线EO交CD于点F,连接OA,OC,如图. ∵AB∥CD,OE⊥AB,∴OF⊥CD. 当点O在AB与CD之间时,如图1, EF=OF+OE=4+3=7(cm); 当点O不在AB与CD之间时,如图2, EF=OF-OE=4-3=1(cm). 综上所述,AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm. 图1 图2 (2) 遇直径(或90°的圆周角)时,常添加(画)直径所对的圆周角或画直径,利用圆周角的性质得直角(或直角三角形). 图示 辅助线作法 关系式 相关知识   作直径所对的圆周角构造直角三角形 ∠C=90°, AB2= AC2+BC2 圆周角定理及推论,勾股定理,锐角三角函数   连接90°的圆周角所对的弦得直径构造直角三角形 6.(2023·江门蓬江一模)如图,C,D在☉O上,AB是直径, ∠D=64°,则∠BAC=( C ) A.64° B.34° C.26° D.24° 7.(2023·汕头龙湖校级三模)如图,AB是☉O的直径, C,D为☉O上两点,如果AB=6,AC=3,那么∠ADC的度数是( B ) A.15° B.30° C.45° D.60° (3) 遇到切线或切点,常连半径得垂直,构造直角三角形. 图示 辅助线作法 关系式 相关知识   连切点与圆心构半径得垂直,构造直角三角形 OB⊥AB, ∠OBA=90° 切线的性质定理,勾股定理,圆周角定理,锐角三角函数,一元二次方程   连接切点与直径两端点、切点与圆心,构造两个直角三角形 8.(2023·广州从化二模改编)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,点O是斜边AB上一点,以O为圆心,OA为半径作圆,☉O恰好与边BC相切于点D,连接AD.已知AD=BD,☉O的半径为 ,求CD的长度. 解:如图,连接OD,则OD=OA,∴∠BAD=∠ODA. ∵☉O与边BC相切于点D,∴BC⊥OD.∴∠ODB=∠C=90°. ∴OD∥AC.∴∠ODA=∠CAD. ∴∠BAD=∠CAD. ∵AD=BD,∴∠BAD=∠B.∴∠BAD=∠CAD=∠B. ∵∠BAD+∠CAD+∠B=3∠B=∠CAB+∠B=90°, ∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°. ∴∠BOD=90°-∠B=60°. 类型3与求证切线有关的辅助线 遇求证圆的切线时,若直线与圆有公共点,常连接公共点和圆心,即“连半径,证垂直”;若直线与圆无公共点,常过圆心作直线的垂线段,即“作垂直,证半径”. 图示 辅助线作法 关系式 相关知识   连公共点和圆心构半径,证半径与直线垂直 OC⊥DE, OC=OA 切线的判定定理,性质定理,圆周角定理   过圆心作直线的垂线段,证垂线段等于半径 9.(2023·东莞校级二模)如图,AB为☉O的直径,C是AB延长线上一点,点D为AB上方☉O上的点,已知∠DAC=∠CDB. (1)求证:直线CD为☉O的切线. (2)若CD=2BC=4,求半径长. (1)证明:如图,连接OD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠DAO. ∵∠DAC=∠CDB,∴∠ODA=∠CDB. ∵AB为☉O的直径,∴