2023—2024学年北师大版数学九年级上册期末复习压轴题特训课件

期末压轴题全攻略 考向一　特殊平行四边形的推理证明题 典例1　（2021·淄博）如图①，两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD.若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为 　　　　⁠.  （典例1图①） 思路导引　通过旋转变换构造等边三角形，将三条线段之和的最小值问题转化为两点之间的最短距离问题. 规范解答　∵ 两张纸条交叉重叠成四边形ABCD，∴ 易知四边形ABCD为平行四边形.又∵ 两张纸条的宽度都为3cm，∴ 3AB＝3BC.∴ AB＝BC.∴ 四边形ABCD为菱形.如图②，过点D作DE⊥BC于点E，把△ABP绕点B按逆时针方向旋转60°得到△A'BP'，连接PP'.∵ ∠α＝30°，DE＝3cm，∴ CD＝2DE＝6cm.由旋转， 得PA＝P'A'，PB＝P'B，∠PBP'＝60°.∴ △P'BP是等边三角形.∴ PB＝PP’. ∴ PA＋PB＋PC＝P'A'＋PP'＋PC.连接A'C，易知与BD的交点即为到A，B，C三点的距离之和最小的点P，此时PA＋PB＋PC＝A'C.∵ 四边形ABCD为菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝6cm，AB∥CD.∴ ∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°.由旋转，得 A'B＝AB＝6cm，∠A'BA＝60°.∴ ∠A'BC＝90°.∴ A'C＝＝6cm. ∴ 点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为6cm.故填6cm. （典例1图②） ⁠ 1. （2022·烟台模拟）如图，四边形ABCD为菱形，P为对角线BD上一点，连接AP并延长，交射线BC于点E，连接PC. （1） 求证：∠AEB＝∠PCD. 解：（1） ∵ 四边形ABCD为菱形，∴ ∠PDA＝∠PDC，AD＝CD，AD∥BC. ∴ ∠AEB＝∠PAD.在△PAD和△PCD中，，∴ △PAD≌△PCD. ∴ ∠PAD＝∠PCD.∴ ∠AEB＝∠PCD. （2） 当PA＝PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数. 解：（2） 如图，延长CP交AD于点M，连接AC.∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AD∥BC，AB＝CD＝BC.∵ PC⊥BC， ∴ CM⊥AD.∵ PA＝PD，∴ AM＝DM. ∴ CM垂直平分AD.∴ AC＝CD＝BC＝AB. ∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠ABC＝60°. （3） 若∠ABC＝90°，△PCE是等腰三角形，请直接写出∠PEC的度数. 解：（3） ∠PEC的度数为30°或120°. 考向二　相似的有关证明与操作变换题 典例2　一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG. （1） 将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图②），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由. （2） 把正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图③），当∠EAG与∠BAD之间满足怎样的数量关系时，结论BE＝DG仍成立？请说明理由. （3） 把正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD，且＝＝，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图④），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2＋BG2的值是定值，请求出这个定值. （典例2图） 思路导引　（1） 由正方形的性质证明△AEB≌△AGD，进而得证BE＝DG. （2） 类比（1），易知当∠EAG＝∠BAD时，结论仍成立. （3） 类比（1），易证△EAB∽△GAD，从而得到BE⊥DG，由此利用勾股定理可将线段的平方转化，进而得解. 规范解答　（1） 能. ∵ 四边形AEFG为正方形，∴ AE＝AG，∠EAG＝90°.∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB＝AD，∠BAD＝90°.∴ ∠EAG－∠BAG＝∠BAD－∠BAG， 即∠EAB＝∠GAD.∴ △AEB≌△AGD.∴ BE＝DG. （2） 当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG. 理由：∵ ∠EAG＝∠BAD，∴ ∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB， 即∠EAB＝∠GAD. 又∵ 四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴ AE＝AG，AB＝AD. ∴ △AEB≌△AGD.∴ BE＝DG. （3） 如图⑤，设BE分别与DG，AG相交于点Q，P，连接EG，DB. ∵ ＝＝，AE＝4，AB＝8，∴ AG＝6，AD＝12. ∵ 四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴ ∠EAG＝∠BAD＝90°. ∴ ∠EAG＋∠BAG＝∠BAD＋∠BAG，即∠EAB＝∠GAD. ∴ △EAB∽△GAD.∴ ∠BEA＝∠DGA. ∵∠APQ＝∠BEA＋∠EAG＝∠DGA＋∠GQE，∴ ∠GQE＝∠EAG＝90°. （典例2图⑤） ∴ BE⊥DG. ∴ DE2