17.1 勾股定理讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

17.1 勾股定理 认知定位 重点 1．探索和验证勾股定理，并能应用其进行简单的计算． 2．运用勾股定理解决实际问题． 3．能利用勾股定理在数轴上表示无理数． 难点 1．用拼图的方法验证勾股定理． 2．勾股定理的灵活运用． 3．利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段． 认知要求 1．了解勾股定理的文化背景，了解利用拼图验证勾股定理的方法． 2．能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算． 3．能应用勾股定理计算直角三角形的边长． 4．能应用勾股定理解决简单的实际问题． 5．能说出勾股定理，能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． 6．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 7．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题． 考点导航 考点1 应用勾股定理求线段长或面积 考点精讲 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即： ． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 【精讲1】（2023秋•章丘区期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　． 【分析】根据勾股定理可求点到原点的距离． 【解答】解：点到原点的距离为． 故答案为：5． 【精讲2】（2023秋•闵行区期末）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，那么这个直角三角形面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：一个直角三角形两条直角边的比是， 设两条直角边分别为，， 根据勾股定理得，， ， 两条直角边分别为和， 这个直角三角形面积为， 故答案为：． 【精讲3】（2023秋•如皋市期末）如图，在中，，是高，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出的长即可． 【解答】解：，，， ， 是的高， ， ， 即的长为， 故答案为：． 名师点拨 已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 考点2 勾股定理的证明 考点精讲 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 【精讲1】（2023秋•新野县期末）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【分析】连接，由图1可得正方形的面积为，由图2可得四边形的面积为三角形与三角形面积之和，再利用正方形的面积与四边形的面积相等即可证明． 【解答】证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． 【精讲2】（2023秋•黎川县校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （2）运用勾股定理在和中求出，然后再列出方程求解即可． 【解答】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即． （2）设， 在中，； 在中，； 所以， 解得． 【精讲3】（2022秋•唐山期末）用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 【答案】证明见解答． 【分析】根据两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和列等式可解答． 【解答】证明：两个正方形的面积之差