16.3 二次根式的加减讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

16.3 二次根式的加减 认知定位 重点 1．二次根式加减法的运算． 2．能熟练进行二次根式的混合运算． 难点 1．快速准确进行二次根式加减法的运算． 2．灵活运用因式分解、约分等技巧，运用运算律使计算简便． 认知要求 1．理解二次根式可以合并的条件． 2．类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则． 3．能熟练地进行二次根式的加减法运算． 4．在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系，在比较中得到方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 考点导航 考点1 合并二次根式 考点精讲 可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并． 【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0． 【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用． 【精讲1】（2022春•石城县校级月考）若二次根式与可以合并，求的算术平方根． 【答案】5． 【分析】由题意可知与是同类二次根式，列出关于，的二元一次方程组，求出，的值，代入求解即可． 【解答】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ， 解得， ， ， 即的算术平方根是5． 【精讲2】合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【精讲3】合并下列各式中的同类二次根式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式． 名师点拨 如果两个二次根式能够合并，那么化成最简二次根式后，被开方数一定相等． 考点2 二次根式的加减运算 考点精讲 二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． 【精讲1】（2023秋•朝阳区期中）计算：． 【答案】． 【分析】根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【解答】解：原式． 【精讲2】（2023春•武胜县校级期末）． 【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案． 【解答】解：原式 ． 【精讲3】（2023春•番禺区校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 名师点拨 二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式． 注意 （1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． （2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 考点3 二次根式的混合运算 考点精讲 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． 二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 【精讲1】（2023秋•晋江市期末）计算：． 【答案】． 【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则、绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【精讲2】（2023秋•连江县期末）计算：． 【答案】． 【分析】先算乘除法，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 【精讲3】（2023秋•市北区期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 名师点拨 在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用