16.2 二次根式的乘除讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

16.2 二次根式的乘除 认知定位 重点 二次根式的乘、除法法则与二次根式乘、除法的逆运算的理解和应用． 难点 灵活运用二次根式的乘、除法法则和二次根式乘、除法的逆运算，进行二次根式的相关计算或化简． 认知要求 1．理解并能说出二次根式的乘、除法法则，且能运用它进行二次根式的乘、除法运算． 2．理解并能说出二次根式乘、除法的逆运算，且能运用它进行二次根式的化简． 3．经历计算、总结、归纳得出二次根式的乘、除法法则和二次根式乘、除法的逆运算的过程体会数学中类比归纳的数学方法． 4．通过二次根式的乘、除法法则的探索培养探索事物之间内在联系的学习习惯增强学数学、用数学的兴趣，提高用数学知识解决实际问题的能力． 考点导航 考点1 二次根式的乘法 考点精讲 二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 推广：①． ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 推广：． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 【精讲1】（2023秋•禅城区期末）计算：　　． 【答案】1． 【分析】利用二次根式的乘法法则和平方差公式即可求解． 【解答】原式． 故答案为：1． 【精讲2】（2023•鼓楼区一模）计算的结果是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式乘法法则计算． 【解答】解： ． 故答案为：． 【精讲3】（2023秋•泉州期中）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的乘除法法则解题即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 名师点拨 在进行二次根式的乘法运算时， 1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的． 2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方． 考点2 二次根式的除法 考点精讲 二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： ． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （2）二次根式除法法则的逆用 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 【精讲1】（2023•晋中模拟）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算． 【解答】解：， 故答案为：． 【精讲2】（2023春•费县期中）计算的结果是　　． 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：2 【精讲3】（2023春•芝罘区期中）计算：的结果是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算． 【解答】解：， 故答案为：． 名师点拨 1．二次根式的除法法则是： ． 【注意】①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义．学-科网 ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． 2．； 3．，其中． 考点3 最简二次根式 考点精讲 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【精讲1】（2023春•西丰县期中）把化为最简二次根式是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【精讲2】（2023春•海陵区期末）若 是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 　　． 【答案】2． 【分析】先根据二次根式有意义求出的取值范围，再根据为整数，以及最简