16.1 二次根式讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

16.1 二次根式 认知定位 重点 1．理解并掌握二次根式的概念． 2．理解并掌握二次根式的性质． 难点 1．理解并掌握二次根式的双重非负性． 2．能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简． 认知要求 1．理解并掌握二次根式的概念． 2．理解并掌握二次根式的双重非负性． 3．根据二次根式的概念，求开方数中字母的取值范围． 4．能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质． 5．能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简． 6．能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念． 考点导航 考点1 二次根式的判定 考点精讲 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【精讲1】（2023春•西宁期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义分别判断即可． 【解答】解：、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； 、是三次根式，故此选项不符合题意； 、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； 、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 【精讲2】（2023春•随县期末）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论． 【解答】解：、中，所以是二次根式，本选项符合题意； 、当时不是二次根式，本选项不符合题意； 、的根指数是3，本选项不符合题意； 、当时不是二次根式，本选项不符合题意． 故选：． 【精讲3】（2023春•宣城月考）下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式定义逐个判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 可以任意取值，即可以为负值， 不一定是二次根式，不符合题意； ， 不是二次根式，不符合题意； ， ， 是二次根式符合题意；是三次根式，故选项不符合题意； 故选：． 名师点拨 判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是的计算结果，是二次根式． 考点2 二次根式有意义的条件 考点精讲 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 【精讲1】（2023春•藁城区期末）使式子有意义的实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而分析得出答案． 【解答】解：式子有意义，则， 解得：． 故选：． 【精讲2】（2023•惠阳区一模）若二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得，， 解得，， 故选：． 【精讲3】（2023秋•西峡县期中）要使式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，由和分母不为0，从而可得答案． 【解答】解：式子有意义， ，， 且． 故选：． 名师点拨 求使代数式有意义的字母的取值范围的类型： （1）二次根式型：被开方数大于或等于0； （2）分式型：分母不等于0； （3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分． 考点3 二次根式的性质 考点精讲 （1） （2） （3） 【精讲1】（2023春•辛集市期末）是一个正整数，则的最小正整数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数． 【解答】解：由是一个正整数，得 ， ， 故选：． 【精讲2】（2023春•前郭县期中）若与都是二次根式，那么　　． 【分析】根据二次根式的意义，被开方数为非负数，列不等式组求，则的值可求． 【解答】解：与都是二次根式， ， 解得． ． 【精讲3】（2023秋•昌平区期末）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则　　． 【答案】． 【分析】根据点在数轴上的位置判断出的符号，进而可得出结论． 【解答】解：由图可知， ， ． 故答案为：． 名师点拨 化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值． 运用进行化简