第10讲 离散型随机变量及其分布（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第10讲 离散型随机变量及其分布 【人教A版2019】 ·模块一 分布列的典型求法 ·模块二 期望与方差的运算与性质 ·模块三 期望与方差的应用 ·模块四 课后作业 模块一 分布列的典型求法 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 3．离散型随机变量的分布列的求解步骤 (1)明取值：列出离散型随机变量X的所有取值xi(i=1,2,…)； (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出离散型随机变量每个取值所对应的概率 值P(X=xi)=pi； (3)画表格：列成表格形式，按规范要求形式写出分布列； (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【考点1 求分布列】 【例1.1】（2023·四川成都·模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 【例1.2】（2023高三上·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 【变式1.1】（23-24高三上·江西·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球. (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)16球过后，双方战平（），已知继续对战数球后，甲率先取得11分并获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列. 【变式1.2】（23-24高二下·山东东营·开学考试）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 【考点2 利用随机变量分布列的性质解题】 【例2.1】（22-23高二下·安徽蚌埠·期末）已知随机变量的分布列为，设，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（22-23高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2.1】（22-23高二下·河南·期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·吉林·阶段练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（    ） X －1 0 1 2 P A． B． C． D． 模块二 期望与方差的运算与性质 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下