含参函数极值与最值讲义-2024届高三数学二轮复习

函数的极值与最值讲义 例1．函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．若函数在处有极大值，则实数的值为（    ） A．1 B．或 C． D． 例3．已知函数．则的极值点有 个. 例4．设函数. (1)求在处的切线方程；(2)求的极小值点和极大值点. 例5．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值. (1)求实数a的值；(2)函数y＝f（x）有三个零点，求m的取值范围. 例6．已知函数.讨论的极值点个数； 例7．已知函数（且为常数）.讨论函数的极值点个数； 例8．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数； 例9．已知函数，.讨论函数的极值点； 例10．已知函数，的导函数为．讨论的极值点的个数； 例11．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值点. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的极值与最值讲义 例1．函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析 由题意可得：，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值， 结合题意可得：，解得：， 所以实数的取值范围是.故选：B． 例2．若函数在处有极大值，则实数的值为（    ） A．1 B．或 C． D． 【答案】D解析函数，， 函数在处有极大值，可得，解得或， 当时，，时，时， 在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意. 当时，，时，时， 在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意. 综上可得，.故选：D 例3．已知函数．则的极值点有 个. 【答案】0或1 解析由题知, ,, ①当时,,在上为增函数,不存在极值点; ②当时,令,则, 故在上为增函数,又因为当,, ,所以必存在,使, 当时,为减函数,当时,为增函数,所以是的极小值点, 综上,当时,无极值点,当时,有一个极值点, 故的极值点有0个或1个.故答案为:0或1 例4．设函数. (1)求在处的切线方程；(2)求的极小值点和极大值点. 解析（1）函数，函数的导数为． ，， 在处的切线方程：，即． （2）令，，解得，． 当时，可得，即的单调递减区间， 或，可得，∴函数单调递增区间，，． 的极大值点，极小值点． 例5．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值. (1)求实数a的值；(2)函数y＝f（x）有三个零点，求m的取值范围. 解析（1）解：f'（x）＝3x2﹣2ax+3， 因为函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值， 所以f'（3）＝0，即27﹣6a+3＝0， 解得a＝5，经检验符号题意； （2）因为f（x）＝x3﹣5x2+3x+m， 令f'（x）＝3x2﹣10x+3＝0， 得或， 由f'（x）＞0，得或，此时f（x）为增函数， 由f'（x）＜0，得，此时f（x）为减函数， 即当时，函数f（x）取得极大值，当x＝3时，f（x）取得极小值， 即f（x）极小值＝f（3）＝m﹣9，f（x）极大值＝f（）＝m+， 因为函数f（x）有三个不同零点， 所以，即， 解得， 故m的范围是. 例6．已知函数.讨论的极值点个数； 解析（1）因为定义域为，且， 当时，恒成立， 在上单调递增，极值点个数为； 当时，对于函数，， 所以恒成立， 所以在上单调递增，极值点个数为； 当时，由得，或， 由得，或；由得，. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以为极大值点，为极小值点，极值点个数为. 综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2. 例7．已知函数（且为常数）.讨论函数的极值点个数； 解析 函数的定义域为，则. 令，则，由，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，. ①当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数在上单调递增，则函数无极值点； ②当时，令，则，由，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，. 作出函数与函数的图象如下图所示： （i）当时，直线与函数的图象有两个交点， 设这两个交点的横坐标分别为、，且， 由图可知，当或时，；当时，. 此时，函数有个极值点； 例8．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数； 和两种情况讨论得解； 解析： f（x）的定义域为（0，+∞）．． 当a≤0时，≤0在 （0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减． f（x）在（0，+∞）上没有极值点． 当a＞0时，由＞0得x， 所以，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即f（x）在x处有极小值． 综上，当