概率习题课讲义-2024届高三数学一轮复习

专题：概率（2） 【知识点】 （1）全概率公式 ：设是一组两两互斥的事件，，且， 则对任意的事件B⊆Ω， （2）离散随机变量的数学期望、方差、标准差 （6）常见分布列 二项分布：在n 次独立重复试验中，用表示 A 发生的次数，设每次试验中 A 发生的概率为 p ， 则，称随机变量服从二项分布，记作且 超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取n件，其中恰有件次品， 则，称随机变量服从超几何分布. 记作 【习题精练】 1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 有个相同的球,分别标有数字,从中有放回的随机取两次,每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”,则( ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 3. （多选）袋子中有个相同的球,分别标有数字,,,,,,从中随机取出两个球,设事件“取出的球的数字之积为奇数”,事件“取出的球的数字之积为偶数”,事件“取出的球的数字之和为偶数”,则 A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 4. （多选）下列关于随机变量的说法正确的是( ) A. 若服从正态分布,则 B. 已知随机变量服从二项分布,且,随机变量服从正态分布,若,则 C. 若服从超几何分布,则期望 D. 若服从二项分布,则方差 5. 已知随机变量,则__________. 6. 已知随机变量,其中,,则__________. 7. 在数字通信中,信号是由数字和组成的序列,且传输相互独立.由于随机因素的干扰,发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送时,收到的概率为,收到的概率为:发送时,收到的概率为,收到的概率为.假设发送信号和是等可能的. (1)已知接收的信号为,且,求发送的信号是的概率; (2)现有两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送次;三次传输是指每个信号重复发送次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到,,,则译码为).已知发送,若采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率,求的取值范围. 【课后巩固】 8. 小明进行投篮训练,已知每次投篮的命中率均为. (1)若小明共投篮次,求在投中次的条件下,第二次没有投中的概率; (2)若小明进行两组训练,第一组投篮次,投中次,第二组投篮次,投中次,求; (3)记表示小明投篮次,恰有次投中的概率,记表示小明在投篮不超过次的情况下,当他投中次后停止投篮,此时一共投篮的次数(当投篮次后,若投中的次数不足次也不再继续投),证明:. 概率2答案和解析 第1题： 【答案】B 【解析】由，∴，∴，解之得，由，有. 第2题： 【答案】B 【解析】由题意知,两点数和为的所有可能为:,,,,,        两点数和为的所有可能为:,,,,,,        ∴,,,,       ,,,,        故,B正确,故选B. 第3题： 【答案】A,B 【解析】取出两个球的数字之积不是奇数就是偶数，不可能既是奇数又是偶数,故事件与是互斥事件，且是对立事件，A、B正确；        取出两个球的数字之积与数字之和都可能为偶数,故事件与不是互斥事件,C错误；       ,,,故事件与不相互独立,D错误.        故选AB. 第4题： 【答案】A,C,D 【解析】对A,由于,所以,        根据方差的性质,,故A正确;        对B,服从二项分布,        ∴,解得,        ∴,根据正态分布的对称性可得,,故B错误;        对C,服从超几何分布,        根据超几何分布的期望公式,,故C正确;        对D,服从二项分布,根据二项分布方差公式得,       ,故D正确.故选:ACD. 第5题： 【答案】 【解析】因为,所以.故答案为:. 第6题： 【答案】 【解析】因为,所以,        因为,所以,        又因为,所以,        因为,所以,且,        又因为,所以,所以.        故答案为:. 第7题： 【答案】见解析 【解析】(1)设事件表示共有次投中,事件表示第二次没投中,        则表示一共投中次,且第二次没投中,则从剩余的三次选择两次投中,        故,表示