含参函数单调性讨论讲义-2024届高三数学二轮复习

含参数的函数的单调性 目录 1. 导函数为一根 2. 导函数为两根且能因式分解 3. 不能因式分解的导函数 一般步骤 求导后变号函数为二次函数或类二次函数的步骤： （1）最高次数含参数a讨论{a=0,a≠0→{a>0,a<0 （2）最高次数不含参数a （注：如果类似x^(2)±a等形式，可按一次函数做法讨论） （i） 能因式分解→令y'=0,求出比较再比较两端点，每讨论一次，画抛物线图，,根据图写出单调区间. （ii） 不能因式分解→令y'=0→分{△≥0，此时y'恒正或恒负，写出单调区间。,△<0，求出,比较,再比较两端点，每讨论一次，,画抛物线图，根据图写出单调区间. 类型1导函数为一根 例1．若定义在上的函数，，求函数的单调区间. 例2．已知函数，讨论的单调性； 例3．设函数，讨论函数的单调性； 例4．设函数，讨论函数的单调性； 类型2导函数为两根且能因式分解 例1．已知函数，讨论函数的单调性； 例2．已知函数，讨论的单调性； 例3．已知函数，，讨论函数的单调性； 例4.已知函数，求函数的单调区间 例5．设函数，讨论的单调性； 例6．已知函数，讨论的单调性； 类型3不能因式分解的导函数 例1．已知函数，讨论的单调性； 例2．已知函数，讨论函数的单调性； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 含参数的函数的单调性 目录 1. 导函数为一根 2. 导函数为两根且能因式分解 3. 不能因式分解的导函数 一般步骤 求导后变号函数为二次函数或类二次函数的步骤： （1）最高次数含参数a讨论{a=0,a≠0→{a>0,a<0 （2）最高次数不含参数a （注：如果类似x^(2)±a等形式，可按一次函数做法讨论） （i）能因式分解→令y'=0,求出比较再比较两端点，每讨论一次，画抛物线图，,根据图写出单调区间.,, (ii)不能因式分解→令y'=0→分{△≥0，此时y'恒正或恒负，写出单调区间。,△<0，求出,比较,再比较两端点，每讨论一次，,画抛物线图，根据图写出单调区间. 类型1导函数为一根 例1．若定义在上的函数，，求函数的单调区间。 解析函数，求导得到， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得到， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为； 例2．已知函数，讨论的单调性； 解析， 当时，，∴在上单调递减. 当时，令，得；令，得. ∴的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时，令，得；令，得. ∴的单调递减区间为，单调递增区间为. 例3．设函数，讨论函数的单调性； 解析 由题意得，. ①当时，，故函数在区间上单调递增； ②当时，在区间上，，在区间上，， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 例4．设函数，讨论函数的单调性； 解析函数的定义域为， . 当，即时，，函数在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上所述： 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 类型2导函数为两根且能因式分解 例1．已知函数，讨论函数的单调性； 解析 因为， 所以. 令，解得或. 若，当即或时， 故函数的单调递增区间为； 当即时，故函数的单调递减区间为. 若，则， 当且仅当时取等号，故函数在上是增函数. 若，当即或时， 故函数的单调递增区间为； 当即时，故函数的单调递减区间为. 综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 时，函数单调递增区间为； 时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 例2．已知函数，讨论的单调性； 解析 因为，所以， 即.由，得，. ①当时，，当且仅当时，等号成立.故在为增函数. ②当时，， 由得或，由得； 所以在，为增函数，在为减函数. ③当时，， 由得或，由得； 所以在，为增函数，在为减函数. 综上，当时，在为增函数； 当时，在，为增函数，在为减函数； 当时，在，为增函数，在为减函数. 例3．已知函数，，讨论函数的单调性； 解析 . 若，当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 若，当时，，即在（，上均单调递增； 当时，，即在上单调递减. 若，则，即在上单调递增. 若，当时，即在，上均单调递增； 当时，，即在上单调递减. 例4.已知函数，求函数的单调区间 解析 函数的定义域为．． 若，．所以函数的单调递增区间为； 若，令，解得，． 当时，，的变化情况如下表 单调递增 极大值 单调递减 函数的单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，，的变化情况如下表 单调递增 极大值 单调递减 函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 综上所述：，的单调递增区间为；，单调递增区间是， 单调递减区间