2024年中考数学总复习 课件 微专题8　特殊四边形中的折叠问题

微专题8　特殊四边形中的折叠问题 1 类型1把一顶点折叠到边上 图示 结论   (1)线段关系:BP=B'P,BC=B'C; (2)角度关系:∠B=∠CB'P, ∠BPC=∠B'PC,∠BCP=∠B'CP; (3)全等关系:△BCP≌△B'CP; (4)相似关系:△AB'P∽△DCB'   (1)等腰三角形B'EF(B'E=B'F); (2)四边形EBFB'是菱形; (3)多个直角三角形(表示出线段长,利用勾股定理列方程计算) 1.(2023·牡丹江)在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上,某位同学进行了如下操作:第一步,将矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平;第二步,将图1中的矩形纸片折叠,使点C恰好落在点F处,得到折痕MN,如图2.根据以上的操作,若AB=8,AD=12,则线段BM的长是( C ) A.3 B. C.2 D.1 2.(2023·宜昌模拟)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 　16　. 3.(2023·娄底)如图,点E在矩形ABCD的边CD上,将△ADE沿AE折叠,点D恰好落在边BC上的点F处,若BC=10,sin∠AFB= ,则DE=　5　.  4.(2023·湖北)如图,将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM.   (1)求证:∠AMB=∠BMP. (2)若DP=1,求MD的长. (1)证明:点B,M关于线段EF对称,由翻折的性质, 知∠MBC=∠BMP. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC. ∴∠MBC=∠AMB. ∴∠AMB=∠BMP. (2)解:设MD=x,则AM=3-x,设AE=y,则EM=EB=3-y. 在Rt△AEM中,AE2+AM2=EM2,∴y2+(3-x)2=(3-y)2. ∵∠ABC=∠EMN=90°,∴∠AME+∠DMP=90°. 又∵∠AEM+∠AME=90°, ∴∠AEM=∠DMP,∠A=∠D. 类型2把一顶点折叠到四边形内部 图示 结论   (1)线段关系:CD=C1D1, DE=D1E,CF=C1F; (2)角度关系:∠D=∠D1=90°, ∠C=∠C1=90°,∠DEF=∠D1EF,∠CFE=∠C1FE 5.(2023·随州)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边AB上一动点(不含端点),将△ADM沿直线DM对折,得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时,连接DP,则△CDP的面积为　10　;DP的最大值为　　 .  6.(2023·通辽)综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动,有一位同学操作过程如下: 操作一:对折正方形纸片ABCD, 使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平; 操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ. (1)如图1,当点M在EF上时,∠EMB=　 　度.  (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合)如图2,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由. (2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下: ∵在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处, ∴AB=BM,∠A=∠BMP=90°. ∴BC=AB=BM,∠BMQ=∠C=90°. ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL).∴∠MBQ=∠CBQ. 类型3把一顶点折叠到四边形外部 图示 结论   (1)线段关系:AB=AB',BC=B'C=AD; (2)角度关系:∠B=∠B', ∠BCA=∠B'CA,∠BAC=∠B'AC; (3)全等关系:△ABC≌△AB'C, △AB'F≌△CDF; (4)常用的特殊三角形:Rt△AFB', Rt△CFD,等腰△AFC 图示 结论   (1)EF垂直平分BB'; (2)一线三等角和8字型相似模型 (利用相似列式求解); (3)多个直角三角形(表示出线段长,利用勾股定理列方程计算) 7.(2022·雅安)如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,则阴影部分的面积为 　 .  解析:根据翻折的性质可知∠FBD=∠DBC. 又∵AD∥BC,∠ADB=∠DBC. ∴∠ADB=∠FBD.∴BF=DF. 设BF=DF=x,AF=9-x. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AB=CD=3. ∴AF2+AB2=BF2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5. 8.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重