2024年九年级数学中考复习：圆与四边形的综合训练

2024年九年级数学中考复习：圆与四边形的综合训练 1．如图1，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连接交于点，连接和． (1)求证：． (2)若，且，求的长． (3)如图2，连接，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）． 2．如图，已知、为内位于圆心两侧的两条弦，，过点A作的垂线交于点E． (1)求证：； (2)若与间的距离为7，求的半径长； (3)若在弧上取一点F，使得，连接，求证：经过圆心O． 3．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．    (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的长． 4．如图，四边形内接于．    (1)求证：； (2)如图2，在线段上分别取点，连接并延长交于点，连接并延长，交于点，连接，当时，求证：； (3)在（2）的条件下，当时，若，求的长． 5．如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形． (1)求证：是⊙O的切线； (2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积． 6．如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． (3)在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 7．如图，四边形是圆O的内接四边形，请回答下列问题： (1)若，求证： (2)若，，圆O的半径为3，求的长； (3)在（2）的条件下求的值． 8．如图，四边形内接于，，AC是对角线．过点D作的切线交BC的延长线于点E． (1)求证：； (2)BA与CD的延长线交于点F，若，，，求AF的长． 9．如图， 已知， 四边形内接于， 且． (1)求证： ①； ②若为直径， 则． (2)已知的半径为5 ， 四边形有一个角为， 且， 求四边形 的面积． (3)设，，，， 探究并用等式表示、、、的数量关系． 10．如图，已知是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧上的一个动点（点C不与A、B重合）． (1)如图1，于D，交⊙O于点N，求证：. (2)如图2，设，⊙O半径为5，若平分，交⊙O于点E，四边形的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出四边形面积的取值范围． 11．已知，在△ABC中，，以BC为直径的⊙O与AB交于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，连接BE． (1)如图1，DE与⊙O相切于点G，求证：； (2)如图2，延长HO交⊙O于点K，交线段BE于点M，将△DEF沿DE折叠，点F的对称点恰好落在射线BK上，求证：； (3)如图1，在（1）的条件下，求的值． 12．如图，在中，以为直径的半经过点，交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)连接，，若，，求的长． 13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD（点E与点D不重合），边BC上的点，且EF=AE，过点E，F，C作， 交边CD于点G，连结FG． (1)求证：AE⊥EF； (2)当AB=8，tan∠EFG=，求的半径； (3)设交BD于点H，且BE=AB，求证：BH=DE． 14．如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿折线段以每秒1个单位的速度向点D（不与D点重合）运动，与此同时，以为直径且在的右侧作半圆O．设点E的运动时间为． (1)发现：当点D开始落在半圆O上时，_________；此时半圆O的半径为________； (2)探究：当秒时， ①连接、，判断是否垂直； ②求半圆O与矩形重叠部分的面积； (3)拓展：若半圆O与矩形的边相切时，求点E到的距离． 15．（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ； （2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值； （3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）解：∵弦于点 ∴ ∵是的直径， ∴ 即 ∵四边形是的内接四边形 ∴ ∴； （2）解：如图：连接与相交于一点H， ∵ ∴ ∵弦于点 ∴ 在中， 即 解得 ∴ ∵ ∴ 设 在中， 在中， 即 ∴ 解得 ∴ （3）解：如图，连接 ∵四边形为平行四边形，且易知 ∴四边形为菱形 ∵四边形是的内接四边形 ∴ ∴ ∵由（1）知； ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∵四边形为菱形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 2．（1）证明：连接， ， ， ， ， ； （2）解：过点O作于H，延长交于G，连接， ， ， ， 设， 与间的距离为7 ， ， ， ， ， 解得， ， 的半径长为5；    （