2024年九年级数学中考复习：圆与三角形问题综合训练

2024年九年级数学中考复习：圆与三角形问题综合训练 1．如图，是的直径，弦交于点，点是劣弧的中点，连接． (1)求证：； (2)过点作，判断劣弧与劣弧的大小关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求阴影部分的面积． 2．如图1，为半圆O的直径，点C为半圆弧上一点，于点D，在上截取，连结，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②如图2，连结，与相交于点G，求的面积． 3．如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 4．【综合与探究】如图，内接于⊙O，是直径，射线相交于点D，连结． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作交直线于点F，连结，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点H，，，求的长． 5．如图1，为上不重合的三点，为的切线，． (1)求证：为的切线； (2)若为等腰三角形，，求的值； (3)如图2，若为直径，为线段上一点且，，，求的最大值． 6．如图，是的直径，点为上一点，，垂足为，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求的长． 7．如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 8．如图，四边形内接于，连结，交于点，点是上一点，连结，交于点，且满足． (1)求证：； (2)若点是， 求证：； 若，时，求的值． (3)如图，当点是的中点时，若，，求的值． 9．如图，四边形中，．以O为圆心，以为半径作． (1)求证：是的切线； (2)连接形延长交于点D，延长交于点E，与的延长线交于点F， ①补全图形； ②若，求证：． 10．如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点D，连接交于点H． (1)求证：； (2)已知，，劣弧的长度为，求的度数． 11．如图，为的外接圆，点B为的中点，点M为上一点，连接，且，连接交于D点，过M点作的切线交延长线于E点． (1)判断的形状； (2)求证：； (3)已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 12．如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 13．如图1，为四边形的外接圆，与相交于点，且，连结，设． (1)用含的代数式表示． (2)如图2，连结，交于点，若，求证：． (3)在（2）的基础上，当，时，求出的值． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交x轴于点P，且，求； (3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由． 15．已知：如图，内两条弦、，且于，为半径，连接、． (1)求证：； (2)作于，延长交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在上，连接交于点，当，，时，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．1）解：如图所示，连接， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 如图所示，连接，设交于点， ∵， ∴， 由（1）可知，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 由（2）可得，， ∴， 如图所示，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 2．（1）证明：如图，连结．    ， ， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连结，交于点．    ，， ，， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， 如图，连结，，与相交于点．    ， ， 由可知，，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 为半圆的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ． 3．（1）证明：连接，，如图， 为的直径， ， ． ， ． ， 为的中位线， ． ， ． 为的半径， 是的切线； （2）解：的半径为5， ． 由（1）知：， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 4．（1）解：如下图：连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ； （2）如下图：过点O作于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如下图：延长交于点L，过点O作于点M，连接， 四边形是的内接四边形， 。 ， ， ， ， ， 设的半径为r， ， ， 由(2)可得：， ， 解得：(不合题意，舍去)， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：． 5．（1） 解：连接，