2024年九年级数学中考复习：圆与三角形问题综合训练

2024年九年级数学中考复习：圆与三角形问题综合训练 1．如图1，为锐角三角形的外接圆，点在劣弧上，点F在上，交于点，且，交于点，，连结，．设． (1)用含α的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 2．如图，在中，，O是斜边上一点，以O为圆心，以为半径的圆与边相切于D点，交于E点，F是下半圆弧上的中点，连结交于点G．已知． (1)证明：． (2)求的半径和的长． (3)是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长． 3．如图，是的直径，弦交于点，点是劣弧的中点，连接． (1)求证：； (2)过点作，判断劣弧与劣弧的大小关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求阴影部分的面积． 4．如图1，为半圆O的直径，点C为半圆弧上一点，于点D，在上截取，连结，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②如图2，连结，与相交于点G，求的面积． 5．如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 6．【综合与探究】如图，内接于⊙O，是直径，射线相交于点D，连结． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作交直线于点F，连结，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点H，，，求的长． 7．如图，中，，D为上的一点，以为直径的交于E，连接交于P，交于F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．如图1，在四边形中，，，以为直径所作的经过点，且与相切于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)是的外接圆，不与、重合的点在的劣弧上运动（如图2所示）．若点、分别为线段、上的动点（不与端点重合），当点运动到每一个确定的位置时，的周长有最小值，随着点的运动，的值也随之变化，求的最大值． 9．如图1，为上不重合的三点，为的切线，． (1)求证：为的切线； (2)若为等腰三角形，，求的值； (3)如图2，若为直径，为线段上一点且，，，求的最大值． 10．如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 11．如图1，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，．    (1)求证：． (2)求与的长． (3)如图2，是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，． ①求关于的表达式． ②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，直接写出的值． 12．如图，四边形内接于，为的直径，的切线与的延长线交于点P． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 13．如图1，为的对角线，的外接圆交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接、，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 14．如图，中，，点为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请你添加一个条件 ，证明四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 15．已知内接于，半径OD交BC于点E，连接AD，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点G，交BC于点F，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长DE交AB于点M，点N在的延长线上，连接，，，若，求的半径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (3)①3；② 2．(2)， (3)，或 3．(2)， (3) 4．(2)①；② 5．(2) 6．(3) 7．(2) 8．(2) 9．(2)或 (3) 10．(2) 11．(2)， (3)①；②或 12．(2) 13．(3) 14．(2) (3)3 15．(3)的半径长为5 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$