微专题：解析几何中四点共圆问题-2024届高三数学二轮复习

解析几何：几何图形之四点共圆问题 四点共圆问题 【基础知识框架】 1.四点共圆问题：若、、、四点共圆 （1）几何性质：证明对角互补，即，可以用斜率或寻找特殊角（两个对角均为）； （2）若、恰为中点，设、中点为，只需证； （3）切割线定理：从圆外一点引两条割线与圆分别交于则有. 对应图形： 【例题分析】 例1．（2022•芗城区校级模拟）已知双曲线与点． （1）是否存在过点的弦，使得的中点为； （2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆． 例2．（2022•广东三模）已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，点为坐标原点，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，直线交轴于点，直线交椭圆于另一点，直线和分别交直线于点和，若、、、四点共圆，求的值． 【变式训练】 1．（2022•洛阳模拟）已知抛物线，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为．直线与交于另一点，线段的垂直平分线交于，两点． （1）求的值； （2）若中，证明，，，四点共圆，并求该圆的方程． 2．（2021•海淀区校级三模）已知椭圆的两焦点，分别为，椭圆上的动点满足，，分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）若直线与交于点，与轴交于点，与的交点为，求证：，，，四点共圆． 3．（2002•江苏）设、是双曲线上的两点，点是线段的中点． （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）如果线段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否共圆？为什么？ 4．（2021•路南区校级模拟）设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，不过原点且斜率为的直线与曲线交于不同的两点，，线段的中点为，直线与曲线交于，，证明：，，，四点共圆． 5．（2021•泸州模拟）已知抛物线上的点，到其焦点的距离为1． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于两点、，线段的垂直平分线交抛物线于两点、，求证：、、、四点共圆． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$