6.4.1 平面几何中的向量方法 同步练习题-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法同步练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 2．已知中，，，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在矩形ABCD中，，，且，则（    ） A． B．5 C． D．4 4．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为 A． N B．5 N C．10 N D． N 5．在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（    ） A．2 B．3 C． D．6 二、多选题 7．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(    ) A． B． C． D． 8．已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（    ） A． B．满足的点只有1个 C． D．满足的点有2个 三、填空题 9．若，且，则 ，的最大值为 . 10．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，若斜坐标系中坐标原点为O，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，点，，则△OMN的面积为 ． 11．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 12．已知在中，，，设是的内心，若，则 四、解答题 13．已知正六边形的边长为1， (1)当点满足__________时，． （注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） (2)若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围； (3)若点H是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围. 14．如下图所示，在平行四边形中，，，用向量，表示，，并回答下面几个问题： (1)当满足什么条件时，与垂直； (2)当满足什么条件时，； (3)与有可能是相等向量吗. 15．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 16．已知点，，C(0，5)，求证：是直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，表示出向量坐标，并利用数量积公式计算，再数形结合求解最大值. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设点的坐标为，则， 故 ，令， 则表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方． 结合图形可得当点与点或重合时可取得最大值，且最大值为， 故的最大值为． 故选：A． 【点睛】通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案． 2．D 【分析】 根据已知可得到的距离为2，为等腰直角三角形，若为的两个四等分点，为中点，在线段上运动，且，数形结合求的取值范围. 【详解】由，结合向量加法法则知：到的距离为2， 又，则，所以，故为等腰直角三角形， 由，则，所以共线， 又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，    所以在线段上运动，且，，， 由图：若，则，又，此时， 故上述情况，易知， 由图知：与重合时，， 综上，的取值范围为. 故选：D 3．A 【分析】画出图形，根据向量的加法、减法及数量积运算求出答案即可. 【详解】如图，因为AB⊥AD，所以， 即．又因为，所以， 故． 故选：A 4．A 【详解】由题意可知：对应向量如图，由于α=60°，∴的大小为|F合|•sin60°=10×．故选A．    5．A 【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，由，根据向量坐标运算求出的坐标，设，由，得出点满足，根据圆的参数方程，可设点，根据，得出，最后利用化一公式和三角函数求最值，即可得出的最大值. 【详解】解：由题意，以原点，，所直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， ，， 设，因为， 所以点满足， 则可设点， 则由，得， 所以， 则的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的求法，考查利用化