7.1.2 全概率公式 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1 条件概率与全概率公式 7.1.2 全概率公式 知识回顾 2.概率的乘法公式 1.条件概率公式 7.1.2全概率公式 思考： 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球 不再放回.显然， 第1次摸到红球的概率为 .那么，第2次摸到红球的 概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2 次摸到红球的概率也应是 .但 是这个结果并不显然，因为第2次摸 球的结果受第1次摸球结果的影响. 7.1.2全概率公式 用Ri表示事件“第i次摸到红球” ，Bi表示事件“第i次摸到蓝球” i=1,2. 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件 P(R2|R1) P(R2|B1) 利用概率的加法公式和乘法公式，得 的并，即R2=R1R2UB1R2. 7.1.2全概率公式 解题路径： 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. 思考： 按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个互斥事件的并,根据概 率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ A1 B … 全概率公式 7.1.2全概率公式 A3 A2 W A n 我们称上面的公式为全概率公式． 由因求果 A1 B n … A3 一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件， A1 UA2 U … UAn=Ω， 且P(Ai)>0 ，i=1, 2, …, n ，则对任意的事件 7.1.2全概率公式 ，有 A2 W A 例1 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用 餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去 B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐 的概率. 7.1.2全概率公式 全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件B (结果事件)看作某一过程的结果，把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai ))，且每一原因 对结果的影响程度(即P(B|Ai )) ； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ) . 7.1.2全概率公式 解:设B= “任取一个零件是次品”,Ai= “零件为第i台车床加工”. (i= 1,2,3)，则 ，且A1 ，A2 ，A3两两互斥. A1 A2B A2 (2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率. 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6% ，第2,3 台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台 车床加工的零件数分别占总数的25%, 30%, 45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； A3 A3B A1B 7.1.2全概率公式 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6% ，第2,3 台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1, 2,3台 车床加工的零件数分别占总数的25%, 30%, 45%. (2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率. 解:由题意知，计算在B发生的条件下，事件Ai(i=1, 2, 3)发生的概率. 因此， 取到零件是次品，它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率分别为 . 7.1.2全概率公式 P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的 比例，称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai |B)是这件次品来自第i台车 床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额. 思考： 例题中P(Ai), P(Ai |B)的实际意义是什么？ 7.1.2全概率公式 例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发 送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的 概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率