排列组合经典十二大方法讲解 讲义-2024届高三数学二轮专题

高中数学排列组合经典方法专题讲解 一：题型归纳 题型一：特殊元素、特殊位置优先法 题型二：相邻问题捆绑法 题型三：不相邻(相间)问题插空法 题型四：间接法 题型五：分组问题 题型六：元素相同问题隔板策略 题型七：排列组合混合问题先选后排策略 题型八：定序问题 题型九：环形排列问题 题型十：错位排列 题型十一：排队问题 题型十二：多面手问题 题型一：特殊元素、特殊位置优先法 方法要点：元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件位置的要求，再考虑其他位置. 例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解析：先排个位数，总共有1,3,5三种情况，因为0不能在首位，再排首位有4种情况，最后再排其他位置有，根据分步计数原理，五位奇数有种. 变1： 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位 变2：把7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 题型二：相邻问题捆绑法 方法要点：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列. 例1：把7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻， 共有多少种不同的排法. 解析：可先将甲乙二元素捆绑成一个整体，同时丙丁也看成一个整体，再与其他元素一起排列，同时对捆绑元素内部进行排列，故满足条件的排法共有种. 变1：五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么有多少不同的排法种数？ 变2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数？ 题型三：不相邻(相间)问题插空法 方法要点：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间. 例1：一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ 解析：先把2个相声，3个独唱排列好，共有种排法；再把4个舞蹈节目插入上边的5个节目形成的6个空位中，有种排法；根据分步计数原理共有种方法. 变1：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数有多少种？ 变2：7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，有多少种不同的排法？ 题型四：间接法 方法要点：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件所有情况去掉. 例1：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？ 解析：如果直接求不小于10的偶数比较困难，可用间接法. 所取的三个数之和为偶数的取法有种，而取出的三个数字之和小于10的偶数取法有共9种，故符合要求的有种. 变1：班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？ 变2：以正方体的顶点为顶点的四面体有多少种？ 题型五：分组问题 方法要点：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成组问题别忘 除以. 例1：6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解析：分三步取书，有种方法，但这里出现重复计数的现象，故种分法. 变1：将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？ 变2：从5名男医生、4名女医生中选4名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生人数一样，则不同的组队方案共有多少种？ 题型六：元素相同问题隔板策略 方法要点：当相同元素分组，可采用隔板法，注意区分不相邻问题插空法. 例1：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解析：10个人站成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入6个板子把他们隔开，从9个里选6个，就是种. 变1： 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 变2： 8个三好学生名额分到5个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 题型七:排列组合混合问题先选后排策略 例1：有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解析：第一步从5个球选出2个组成复合元共种方法，第二步把四个元素装入4个不同的盒内有种，由分步计数原理共有种. 变1：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有多少种？ 题型八：定序问题 例1：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？ 解析：总排列数为种排法，除以甲乙丙之间的排列数，则满足条