解析几何：定值问题 讲义-2024届高三数学二轮复习

解析几何：定值问题 知识点一 定点问题 【基础知识框架】 1. 定值问题解题思路与策略 （1）定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： (I)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） (II)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, (III)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： (1)设参数； (2)用参数来表示要求定值的式子； (3)消参数. （2）圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 2. 与线段长度有关的定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值 预备知识：、， 3. 与面积有关的定值问题 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 预备知识： 4. 与斜率有关的定值问题 与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简. 预备知识：、， 5. 与向量有关的定值问题 与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关 的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值. 预备知识：、， 6. 与代数式有关的定值问题 与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值 7. 与定值有关的结论 （1）若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； （2）若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. （3）设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； （4）设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； （5）设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. （6）设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. （7）点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） （8）经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. （9）过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. （10）点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 【例题分析】 题型一：与线段长度有关的定值问题 例1. 已知椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于、两点,且四边形的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于、两点,且与轴相交于点,若的值与无关,求斜率的值． 题型二：与面积有关的定值问题 例2. 已知为坐标原点,椭圆：的右顶点为,离心率为．动直线：与相交于,两点,点关于轴的对称点为,点到的两焦点的距离之和为4． （1）求的标准方程． （2）若直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由． 题型三：与斜率有关的定值问题 例3. 已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于,两点,且． （1）求抛物线的方程； （2）若,是抛物线上一点,过点的直线与抛物线交于,两点（均与点不重合）,设直线,的斜率分别为,,求证：为定值． 题型四：与向量有关的定值问题 例4.（2022届广东省广州市高三上学期12月调研）已知椭圆：的离心率为,,分别为椭圆的左,右焦点,为椭圆上一点,的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）为圆上任意一点,过作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,判断是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由, 例5．（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知为椭圆C：内一定点,Q为直线l：上一动点,直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两