解析几何：面积问题 讲义-2024届高三数学二轮复习

解析几何：面积问题 知识点一 面积问题 【基础知识框架】 预备知识： 已知点,直线，点到直线的距离 1. 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积 若动直线与圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,一般是先利用弦长公式求出,再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离,则. 2. 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值,可把三角形分为两个小三角形分别计算面积 若过定点Q的直线圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,可先求出点A,B到直线PQ的距离之和d,则,特别的,若与y轴垂足,,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量. 3. 对角线互相垂直的四边形面积的计算 对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的. 4. 利用函数性质求面积最值或范围 如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示,此时可把面积看作关于该变量的函数,若函数的单调性容易确定,可利用函数单调性求面积最值或范围. 5. 利用均值不等式求面积最值或范围 如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式,若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子,可考虑利用均值不等式求最值或范围. 【例题分析】 题型一： 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积 例1.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆的四个顶点,得到的四边形的面积为,连接椭圆C的某两个顶点,可构成斜率为的直线. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知过点的直线l与椭圆C交于E,F两点,点B在线段上,若,求（O为坐标原点）面积的取值范围. 题型二：三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值,可把三角形分为两个小三角形分别计算面积 例2.（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4,且右顶点A到右焦点的距离为1. （1）求椭圆的方程; （2）直线与椭圆交于不同的两点,,记的面积为,当时求的值. 题型三：对角线互相垂直的四边形面积的计算 例3.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆的离心率为,且椭圆经过点,过右焦点作两条互相垂直的弦和． （1）求椭圆的方程； （2）当四边形的面积取得最小值时,求弦所在直线的方程． 题型四： 利用函数性质求面积最值或范围 例4.已知椭圆的右顶点为A,上､下顶点分别为B,D,直线AB的斜率为,坐标原点到直线AB的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线,且交椭圆C于M,N两点,当△DMN的面积最大时,求直线l的方程. 题型五：利用均值不等式求面积最值或范围 例5.（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线,点为其焦点,点、在抛物线上,且直线过点,. （1）求抛物线的方程； （2）过焦点作互相垂直的两条直线,与抛物线分别相交于点、和、,点、分别为、的中点,求面积的最小值. 【真题训练】 1．（2021•乙卷）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4． （1）求； （2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值． 2．（2020•海南）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为． （1）求的方程； （2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值． 3．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$