解析几何：长度问题 讲义-2024届高三数学二轮复习

解析几何：长度问题 知识点一 长度问题 【基础知识框架】 1. 利用两点间距离公式求线段长度 若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度. 已知， 2. 利用求距离 设斜率为的直线l与圆锥曲线C相交于两点,则. 其中求通常使用根与系数的关系,即作如下变形： 3. 利用求距离 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点,则.当消去x整理方程为关于的一元二次方程常用此结论.其中求时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：. 4. 利用点到直线距离公式求垂线段的长 1.若已知定点,点在动直线上,求最小值,常利用点到直线距离公式； 2.若点在定直线上,点为曲线上,求最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离. 5. 利用函数思想求距离最值 求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值. 【例题分析】 题型一：利用两点间距离公式求线段长度 例1．（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系中,已知椭圆的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为,其中）.点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最小值. 题型二： 利用求距离 例2．已知椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于、两点,且四边形的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于、两点,且与轴相交于点,若的值与无关,求斜率的值． 题型三：利用求距离 例3．（2022届四川省成都市高三诊断）已知抛物线C：,过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P,Q两点. （1）设点B在x轴上,分别记直线PB,QB的斜率为.若,求点B的坐标； （2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M,N两点,求的值. 题型四：利用点到直线距离公式求垂线段的长 例4．（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）物线：在第一象限上一点,过作抛物线的切线交轴于点,过作的垂线交抛物线于,（在第四象限）两点,交于点． （1）求证：过定点； （2）若,求的最小值． 题型五： 利用函数思想求距离最值 例5．已知椭圆的长轴长为,点在上. （1）求的方程； （2）设的上顶点为A,右顶点为B,直线与平行,且与交于,两点,,点为的右焦点,求的最小值. 【真题训练】 1．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点． （Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求的最小值． 2．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是． 3．（2020•北京）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$