2024年中考数学总复习课件 第7节　锐角三角函数的实际应用

第七节　锐角三角函数的实际应用 1 核心知识·夯基础 知识点1锐角三角函数的实际应用 仰角、俯角问题 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角   方向角问题 一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)叫做方向角   坡度、坡角问题 坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度(或坡比);坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i= =tan α.坡度越大,则坡角越大,坡面就越陡   规律总结➡解直角三角形的实际应用的一般步骤 (1)审题,将实际问题抽象为数学问题,读懂题目给出的示意图,通过辅助线转化为解直角三角形的问题. (2)把实际问题中的数量关系,转移到直角三角形的各元素中,找出已知元素和未知元素. (3)根据已知元素和未知元素之间的关系,选用合适的锐角三角函数解直角三角形. (4)得出数学问题的答案,并检验答案是否符合实际意义,从而得出问题的解. 1.(2023·珠海香洲二模)如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点处测得标志物的仰角为35°,若拉线CD的长度是a米,则电线杆AB的长可表示为 ( C ) 基础对点练 知识点2锐角三角函数的实际应用中的常见情况 1.单一三角形问题 常见图形   解法 作BE⊥AC,构造Rt△ABE和矩形BDCE 2.背靠背型三角形问题 常见图形       解法 构造Rt△ACD, Rt△BCD, CD为公共边, AD+BD=AB 构造Rt△ACD, Rt△BCD,矩形CDAE,CD为公共边,AD+BD=AB 构造Rt△ACD, Rt△BEF,矩形CDFE,CD(EF)为公共边, AD+DF+BF =AB 3.母子型三角形问题 常见图形       解法 作CD⊥AB,构造Rt△ACD和Rt△BCD,公共边CD是解题的关键 公共线段CD,BC是解题的关键 作CE⊥AB,构造Rt△ACE和Rt△ADB,矩形BDCE, BD=CE是解题的关键 常见图形       解法 作BE⊥AD, BF⊥CD,构造Rt△ABE和Rt△BCF,矩形BEDF 作BF⊥AE, CG⊥DE,构造Rt△ABF和Rt△CDG,矩形BFEG 构造Rt△ABC, Rt△DBE,矩形ACEF, AF=CE, AC=FE, BC+AF=BE 常见图形       解法 公共边BC是解题的关键 公共线段CF是解题的关键 解Rt△ABC与Rt△DEF,有时需要作AG⊥DE,连接AD,构造矩形ABEG,Rt△ADG 4.拥抱型三角形问题 2.如图,小明在C处看到西北方向的墙角A处有一只小猫沿正东方向跑到大树B处,若BC=a m,则墙角A与大树B两点之间的距离为( A ) 基础对点练 解析:在Rt△BCD中, ∴BD=a·sin α,CD=a·cos α. ∵A处在C处的西北方向, ∴∠ACD=45°. ∵CD⊥AB, ∴∠A=∠ACD.∴AD=CD=a·cos α. ∴AB=AD+BD=a·cos α+a·sin α=a(cos α+sin α)m. 故选A. 3.如图,树AB垂直于地面BC,为测树高,小明在C处测得∠ACB=15°,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度是　10　米.  考点剖析•授技巧 类型1在实际问题中的一般应用 【例题】(广州中考)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC= ,则此斜坡的水平距离AC为( A ) A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m 【中考过关】 1.(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α,每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据: )( B ) A.58 J B.159 J C.1025 J D.1732 J 2.(2023·广东)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站.如图的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据: sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192) 解:连接AB,取AB的中点D,连接CD,如图. ∵AC=BC,点D为AB的中点, ∴中线CD为等腰三角形的角平分线(三线合一), ∴AD=10×sin 50°≈7.66 m, ∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈1