《专题5特殊平行四边形》专题复习2023-2024学年浙教版数学八年级下册

浙教版数学八年级下册专题复习 专题5　特殊平行四边形 题型一　矩形的性质与判定 【例1】 如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F，连结BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形． 【提示】 (1)证明一个四边形是矩形的基本思路： ①若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一个角是直角或对角线相等； ②若直角较多，可证明三个角是直角． (2)利用矩形的性质解题的基本思路： ①从内角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决； ②从对角线上看，对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决． 【变式1】 如图，学校矩形广场ABCD(AB＞AD)的周长为160 m，四边形AECF为学生活动区，E，F分别为AB，CD的中点． (1)求证：四边形AECF为平行四边形． (2)若四边形AECF的面积为600 m2，求AD的长． 题型二　菱形的性质与判定 【例2】 如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF，AE＝AF.求证：四边形AECF是菱形． 【提示】 (1)证明一个四边形是菱形的基本思路： ①若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一组邻边相等或对角线互相垂直； ②若相等的边数较多(或容易证出)时，可证明四条边相等． (2)利用菱形的性质解题的基本思路： ①菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决； ②有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化为等边三角形的问题去解决． 【变式2】 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线，分别交AB，DC于点E，F，连结AF，CE. (1)若OE＝，求EF的长． (2)判断四边形AECF的形状，并说明理由． 题型三　正方形的性质与判定 【例3】 下列判断错误的是(　 　) A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式3】 如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，连结NC，BE相交于点P. (1)求证：∠ANC＝∠ABE. (2)若BC＝6，Q是线段BC的中点，连结PQ，则PQ＝____. 题型四　四边形中的动点问题 【例4】 如图，在▱ABCD中，AC＝6，BD＝10，动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿射线BD匀速运动，动点Q从点D出发以相同的速度沿射线DB匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当t＝2时，求证：以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形． (2)当以A，P，C，Q为顶点的四边形为矩形时，直接写出t的值． (3)设PQ＝y，求y关于t的函数表达式． 【变式4】 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm.点P从点D出发，向点A运动，运动到点A即停止．同时，点Q从点B出发，向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连结PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t(s)． (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ (3)求(2)中菱形AQCP的周长和面积． 　 【巩固练习】 1. 下列命题正确的是(　 　) A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2. 如图，AC是▱ABCD的对角线，若当它满足：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，▱ABCD是菱形，则这个条件是(　 　) 第2题图 A. ①或② B. ①或④ C. ②或③ D. ③或④ 3. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(　 　) A. AB B. DG C. BD D. AF 4. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE，CE与DF分别相交于点M，N，则四边形EMFN是(　 　) A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 一般的平行四边形 5. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO. (1)求证：四边形AECD是平行四边形． (2)若AB＝BC，CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积． 6. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF. 7