第二章对称图形——圆复习动点探究题 讲义 2023—2024学年苏科版数学九年级上册

【知识点睛】 · 圆中线段计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度 圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系 · 圆中模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。 · 圆中的特殊角： 当圆周角=30°时，圆心角=60°→等边三角形 当圆周角=45°时，圆心角=90°→等腰直角三角形 当圆周角=60°时，圆心角=120°→三边比为1:1：的等腰三角形 当圆周角=90°时，→弧为半圆 · 圆中常见其他结论： 圆内接四边形的一个外角=其内对角 折叠弧过圆心→必有30°角 以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点 圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形） 1．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且＝3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．AC＝BC C．AC＝（+1）BC D．AC＝BC 2．如图，将一个含45°角的直角三角形和一个量角器放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为60°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【最值】 1．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　． 2．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状：　 　； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【知识点睛】 · 圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股” 弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解； · 圆中模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 · 常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角 1．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．5 B．2 C．4 D． 2．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1） 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（　　） A． B． C． D． 类型一 定义法 【知识点睛】 · 定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧） · 此类问题常出现环境——折叠 · 求最值时常结合原理——①圆与圆外定点最值的求解方法 如图：点A为圆外定点，点P为圆周上一点， 则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+rO P H Q ②圆上点到圆外定直线最值的求解方法 如图：直线l为圆外定直线，点P、点Q为圆周上一点， 则PH即为圆O上的点到直线l的最小值;QH为最大值 1．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　 　． 2．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是 ． 类型二 定边对直角 【知识点睛】 · 模型原理：直径所对的圆周角是直角 · 思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定