6.1 平方根 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册

6.1 平方根 认知定位 重点 1．算术平方根的意义及求法． 2．平方根的概念和求一个数的平方根． 3．理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根． 难点 1．算术平方根的概念，对符号的理解． 2．平方根和开平方之间的联系 3．理解平方根的意义． 认知要求 1．了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性． 2．会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示． 3．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根． 4．能估计一个数的算术平方根的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义． 5．会用计算器求一个非负数的算术平方根，能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值． 6．理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律． 7．掌握平方根的特征． 8．能正确区分平方根与算术平方根的意义． 9．能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根． 考点导航 考点1 求算术平方根或平方根 考点精讲 （1）定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． （4）拓展 算术平方根具有双重非负性． ①被开方数a是非负数，即a≥0； ②算术平方根本身是非负数，即≥0． 【精讲1】（2023秋•龙华区校级期末）的平方根是　　 A．16 B．4 C． D． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：， 的平方根是． 故选：． 【精讲2】（2023秋•东营期末）　　 A． B． C． D．3 【答案】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：原式． 故选：． 【精讲3】（2023秋•道县期末）下列说法正确的是　　 A．9的平方根是3 B．36的算术平方根是6 C．的平方根是 D．的算术平方根是5 【答案】 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：、9的平方根是，故此选项不符合题意； 、36的算术平方根是6，故此选项符合题意； 、，7的平方根是，即的平方根是，即故此选项不符合题意； 、没有算术平方根，故此选项不符合题意； 故选：． 名师点拨 这类题型看似简单，但学生容易犯两种错误： （1）求平方根时遗漏负的平方根，直接得出算术平方根，如“9的平方根为3”； （2）审题不清，求错算术平方根或平方根，如“的算术平方根为2”． 考点2 利用平方根的性质求值 考点精讲 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根． （2）表示方法 正数a的平方根表示为，读作正负根号a． （3）性质 ①正数有两个平方根，它们互为相反数． ②0的平方根是0． ③负数没有平方根． 【精讲1】（2023秋•承德县期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为　　 A．3 B． C．1 D． 【答案】 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：与是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 故选：． 【精讲2】（2023秋•射洪市期末）若某数的平方根为和，则这个数是　　 A ． B ． C ． 121 D ． 以上结论都不是 【分析】根据正数有两个平方根， 这两个平方根互为相反数， 据此即可得到关于的方程即可求得的值， 进而求得这个数的值 ． 【解答】解： 根据题意得：， 解得， 则这个数是． 故选：． 【精讲3】（2023秋•邵阳期末）若与是同一个数两个不同的平方根，则的值　　 A． B．1 C．或1 D． 【答案】 【分析】根据与是同一个数两个不同的平方根，则与互为相反数，构建方程求得的值． 【解答】解：， 解得：． 故选：． 名师点拨 解题时常用到的平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0； （2）被开方数是非负数，即负数没有平方根． 考点3 估算 考点精讲 （1）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比． 如：估算的大小，可以取与13最接近的两个完全平方数9和16．因为9<13<16，所以<<，即3<<4． （2）知识拓展：用夹逼法按照精确度估计a（a≥0）的近似值 ①确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n（m<n）之间，则的整数部分是m． ②确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0．1，并求其平方，采用与①类似的方法确定的十