内切球、外接球专题讲义-2024届高三数学二轮复习

立体几何专题:内切球、外接球 预备知识 1. 圆柱侧面积;; 2. 圆锥侧面积:; 3. 圆台侧面积:; 4. 棱柱侧面积; ; 5. 棱锥侧面积:; 6. 体积:;;; 7. 球的表面积和体积 . 8. 正三棱锥是底面是_,三个侧面是全等的_的三棱锥。 9. 正四面体是每个面都是全等的_的三棱锥。 10.直棱柱是_与_垂直的柱体,正棱柱是底面为_的_; 11.外接圆半径的求法: (1)对于任意,外接圆的直径; (2)对于边长为的等边,外接圆的半径; (3)对于,外接圆的半径; 13.内切圆半径的求法:等面积法. 知识点一 长方体切割体的外接球 【基础知识框架】 设长方体相邻的三条边棱长分别为,,. 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 图1与图2有重垂线,三视图都是三个直角三角形,图3无重垂线,俯视图是一矩形,AC为虚线,主视图和左视图为直角三角形. 图4中,, . 【例题分析】 例1.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直,且,则这个球的表面积是 . 例2.在三棱锥中,侧棱、、两两垂直,、、的面积分别为、、,则三棱锥的外接球的体积为( ) A. B. C. D. 例3.如图所示,已知球的面上有四点、、、,,则球的体积等于 . 例4.四面体中,,,,则四面体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,平面,,,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为( ) A. B. C. D. 2.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上,且平面,若该棱锥的体积为,,,,则此球的表面积等于( ) A. B. C. D. 3.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上,且,,则球的表面积为( ) A. B. C. D. 4.三棱锥的四个顶点都在球的球面上,已知,,两两垂直,,,当三棱锥的体积最大时,球的体积为( ) A. B. C. D. 【真题训练】 1.(2020•天津)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 A. B. C. D. 2.(2017•天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 3.(2022•潍坊三模)我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论,其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥.若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上,且该“鳖臑”的高为2,底面是腰长为2的等腰直角三角形.则球的表面积为 A. B. C. D. 知识点二 三棱柱的切割体的外接球 【基础知识框架】 图1立着放的模型 图2躺着放的模型 1.立着放的模型一定有重垂线,且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个,底面三角形非直角三角形,将重垂线长度设为,底面三角形外接圆半径设为,可以求出,则; 2.躺着放的模型,底面是直角三角形或者矩形,侧面非直角三角形,底面一条棱垂直于侧面, 3.正棱锥与正棱台模型:将重垂线长度设为,底面三角形外接圆半径设为, 【例题分析】 例1.三棱锥的四个顶点在球的球面上,平面,,,,,则球的表面积为 A. B. C. D. 例2.(2023秋 吉林长春 高三长春市第二中学校考期末)在三棱锥中,平面,,,,则三棱锥的外接球半径为( ) A.3 B. C. D.6 例3.(2022•江西模拟)设三棱柱的侧棱垂直于底面,,,,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是 A. B. C. D. 例4.(2023 广州荔湾 10月调研)在正四棱台中,上､下底面边长分别为,侧棱长为,则该正四棱台的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(2021秋•贵阳期末)已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上,,,则球的表面积是 A. B. C. D. 2.(2022•保定一模)已知三棱锥,其中平面,,,则该三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 3.(2022•成都模拟)已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,是边长为的正三角形,则球的半径长为 A. B. C.2 D.3 4.(2022秋 四川遂宁 高二遂宁中学校考阶段练习)在正四棱台中,,,则该棱台外接球的半径为( ) A. B.3 C. D. 【真题训练】 1.(2022•新高考 )已知正四棱锥的侧棱长为,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是 A., B., C., D., 2.(2022•新高考 )已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 A. B. C. D. 3.(2021•甲卷)已知,,是半径为1的球的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为 A. B. C.