排列与组合中的常见策略讲义-2024届高三数学二轮复习

计数原理:排列与组合中的常见策略 排列与组合中的常见策略 策略一 相邻问题-捆绑法 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有_种. 策略二 不相邻问题-插空法 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有_种 例1.(22-23高二下 全国 开学考试)小陈同学准备将新买的《大学》《左传》《孟子》《论语》《诗经》《中庸》六本书立起来放在书架上,若要求《大学》《中庸》两本书相邻,则不同的摆放种数为 .(用数字作答) 例2.(23-24高二上 福建宁德 期末)宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产.在某次文化表演中,主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目,其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻,则不同的节目安排种数为 (用数字作答). 例3.(23-24高二上 河南驻马店 期末)A,B,C,D,E五人站成一排,如果A,B必须相邻,那么排法种数为( ) A.24 B.120 C.48 D.60 例4.(23-24高二下 安徽宿州 开学考试)若A,B,C,D,E,F六人站队照相,要求A､B相邻且C､D不相邻,则所有不同的站法有( ) A.36 B.72 C.108 D.144 例5.(23-24高二上 福建龙岩 期末)某学校高二(1)班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课,要求第一节不安排体育,语文和数学必须相邻,则不同的排课方法共有( ) A.种 B.种 C.种 D.种 例6.(23-24高二上 陕西渭南 期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( ) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 例7.(23-24高二上 福建漳州 期末)某班联欢会原定3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个节目,现将这2个新节目插入节目单中,要求新节目不相邻,那么不同的插法种数为( ) A.6 B.12 C.20 D.72 策略三 间隔排列问题-公式法 两类元素间隔排列,即这两类元素各自互不相邻,两类元素间隔排列只有以下两种情况: (1)两类元素的个数相等. 个不同元素与另外个不同元素间隔排列,共有种不同的排法. (2)两类元素个数相差. 个不同元素与另外个不同元素间隔排列,共有种不同的排法. 例1.五位科学家和五名中学生站成一排照相,中学生与科学家间隔排列的站法有_种. 例2.4个男生与3个女生站成一排照相,则男生和女生互相间隔排列的方法有_种. 策略四 定序问题-倍缩法 倍缩法也称消序法,主要适用于定序问题. 将个不同元素排列成一排,其中某个元素的顺序保持一定,有多少种不同排法? 个不同元素排列成一排,共有种排法; 个不同元素排列成一排共有种不同排法.于是,个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一.故符合条件的排列共有_种. 例1.五人并排站成一排,如果必须站在的右边(,可以不相邻),那么不同的排法有_种. 例2.五个元素排成一列,要求在的前面且在的前面,不同的排法有_种. 例3.(2024高三 全国 专题练习)3名女生和5名男生排成一排. (3)如果女生不站两端,有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻),有多少种排法? 策略五 特殊元素(特定位置)问题-特优法 某个或几个元素要排在指定位置,通常要优先考虑这个或这几个元素的受限位置,再排其他的元素,这种方法称为特优法. 例1.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,如果要派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_种. 例2.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端,则不同的排法有_种. 策略六 多排问题-单排法 求一些元素排成前后几排有多少种排法.可把元素排成几排的问题归结为一排考虑,再分排处理. 例1.6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数为_种. 例2.8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,不同排法有_种. 策略七 圆排问题-直排法 把个不同元素放在圆周个无编号的位置上,顺序(例如按顺时针)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,即无首位、末位之分,如下列个普通排列: …… 以上排列在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为个元素