6.4.3正弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理 我们回忆以前的直角三角形的边角关系 正弦=对边斜边 B A C a c b 我们不难发现三个正弦中的分母都有c; 整理得 这就是正弦定理 这是在直角三角形中，那么其他的三角形是不是也具有这种关系呢？下面我们一起来探究一下 他们有什么共同点 新知探索 正弦定理的证明之向量法 A （锐角三角形）如图作垂直， = = 即 同理可得 因此： （钝角三角形）同样的方法大家可以自己尝试去证明（注意向量夹角） 综上可得对于任意的三角形都有 因此我们来总结出正弦定理： 文字语言：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等 符号语言： 同学们有没有其他的方法来证明正弦定理呢？ 正弦定理证明之几何法 b a c 锐角三角形时如图：CD= 同理可得,= a b c 钝角三角形时 CD= 同理可得 综上可得对于任意的三角形都有 正弦定理证明之外接圆法 如图作ABC的外接圆，圆心为O 连接BO并延长交圆与C′ 由圆内同一条弦所对的圆周角相等知∠C=∠C′ = 在直角三角形BAC′=2R O A C B C′ ∟ B′ 正弦定理证明之面积法 B A C b a c ¬ ¬ D E 如图在锐角ABC中作高CD=bsinA和高AE=csinB 所以=cbsinA=acsinB bsinA=asinB 即 同理可得 钝角三角形也是同样方法 综上可得对于任意的三角形都有 正弦定理的特征： 边与对角对称 正弦定理的应用：，这三个等式中 已知 两边和一对角 和一对角A 知三求一 已知两角A，B（内角和也知第三角）和任一边 正弦定理的变形公式 1.是外接圆半径 2. (2.3的主要功能是边角互化，这在解三角形中是非常重要的作用 sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB⇒--= a=2bsinA⇒=2⇒ 等号两边都有正弦且二次齐次 等号两边都有边且一次齐次 边角互化的主要特征：等号两边齐次 4.(比例的等比性质) 5. A B 如果与三角形内角和等于矛盾 多以A只能在之间， 6. （解三角形中很重要的面积公式，记牢） 例题讲解 题型一：（两角一边） 例 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形 解1：由三角形内角和定理，得 C=120°.因为 解法2：易知C=120°设△ABC的外接圆半径为R， 题型二：两边一对角 例. 在△ABC中，已知 解这个三角形. 解：由正弦定理知 ∴或 当 当 综上： 或 题型三：三角形形状的判定 在∆ABC中，若acosA=bcosB,求证：∆ABC是等腰三角形或直角三角形。 解：由正弦定理知 sin2A=sin2B 2A=2B或2A+2B=即A+B= 所以∆ABC是等腰三角形或直角三角形 变式：在△ABC中，有 = = 试判断此三角形的形状。 等边三角形 题型四：正余弦定理的结合 例 .△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB，求C. 解:∵sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB ∴由正弦定理，得c2－a2－b2=ab ∴由余弦定理，得=- ∵C∈（0，π） 题型五：三角形解的个数 已知a=16，b= ，A=30º .解三角形 解法二：运用正弦定理 ∵ 当 C= 当 C= 300 A B C 16 解法一：数形结合 如图CD= 所以在D的两侧由两个B点满足题意 故两解，后面解法二 D B 解法三：由余弦定理知 解得c=16或32 后面同上 三角形解的个数判定   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 课堂小结： 1.正弦定理的证明 2.正弦定理的常见变形 3.正弦定理的应用 ①两边一对角求解三角形 ② 两角一边 ③三角形解的个数 $$