5.3.2 课时3 函数的最大（小）值学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时3 函数的最大（小）值 学习目标 1.能利用导数研究函数的性质和变化规律，并会根据函数的性质画出函数图象. 2.会利用导数解决某些简单的实际问题，能将生活中的优化问题转化为求函数的最大（小）值问题. 学习活动 导入：观察下图，思考若要画出的大致简图，需要哪些条件？ 参考答案：（1）函数的定义域；（2）函数的单调性和单调区间；（3）函数的极值和极值点；（4）函数的最大值、最小值. 目标一：能利用导数研究函数的性质和变化规律，并会根据函数的性质画出函数图象. 任务：利用导数探究函数的性质，并根据函数性质画出函数图象. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； 参考答案：（1）， ，， 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 极小值为，无极大值． （2）在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像； 提示1：函数会过哪些特殊点？当时，变化情况是怎样的？当时，变化情况是怎样的？ 参考答案：当时，；当时，，当时，，而且时，是呈现指数型增长，又（1），结合问题（1）中函数的单调性以及极值，可画出函数的大致图像，如下图所示： （3） 讨论关于的方程的实根个数． 参考答案：解：方程的实根个数等价于函数的图象与直线的交点个数. 画出函数与函数的简图，如下图所示： 由图可知，当时，方程没有实数根； 当或时，方程只有一个实数根； 当时，方程有两个不相等的实数根． 思考：根据函数的性质画出函数的大致图象的步骤有哪些？ 【归纳总结】 根据函数的性质画出函数的大致图象的步骤： （1）求出函数f (x)的定义域； （2）求导数f ´(x)及函数f ´(x)的零点； （3）用f ´(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ´(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值； （4）确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f (x)的大致图象. 练一练： 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象. （3）求出方程的解的个数． 参考答案：解：（1）函数的导数， 由得，得，此时函数为减函数， 由，得，得，此时函数为增函数，即函数的减区间为，增区间为，当时有极小值，无极大值； （2）当时，；当时，，当时，，而且时，是呈现指数型增长，又，结合问题（1）中函数的单调性以及极值，可画出函数的大致图像，如下图所示：； （3）由图象知当或时，方程只有一个解， 当时，方程有2个解， 当时，没有解． 目标二：会利用导数解决某些简单的实际问题，能将生活中的优化问题转化为求函数的最大（小）值问题. 任务：利用导数分析销售问题. 问题：同学们我们买过饮料，也都知道大瓶的饮料比等量情况下小瓶的价格要贵，这是什么原因呢？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是分，其中 r（单位：cm）是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. 该怎样规定瓶子的半径，才能使得单瓶销售利润最大？ 参考答案：解：每瓶饮料利润为：，. 所以，令，解得. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此当半径cm时，单瓶利润最大. 思考1：观察图象，从图象角度如何解释上述问题？ 参考答案：解：由图象可知，，说明当瓶子半径为3cm时，利润为0，当，利润值为正，，利润值为负. 思考2：上述图象，时，为减函数，其实际意义是什么？ 参考答案：解：当，随着半径的增大，利润值越来越低，也就是说每瓶饮料的亏损值越来越大. 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1. 如何根据函数的性质画函数的简图？ 2.如何利用导数解决实际情况下的优化问题？ 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时3 函数的最大（小）值 学习目标 1.能利用导数研究函数的性质和变化规律，并会根据函数的性质画出函数图象. 2.会利用导数解决某些简单的实际问题，能将生活中的优化问题转化为求函数的最大（小）值问题. 学习活动 导入：观察下图，思考若要画出的大致简图，需要哪些条件？ 目标一：能利用导数研究函数的性质和变化规律，并会根据函数的性质画出函数图象. 任务：利用导数探究函数的性质，并根据函数性质画出函数图象. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； 提示1：函数会过哪些特殊点？当时，变化情况是怎样的？当时，变化情况是怎样的？ （3） 讨论关于的方程的实根个数． ． 思考：根据函数的性质画出函数的大致图象的步骤有哪些？ 【归纳总结】 根据函数的性质画出函数的大致图象的步骤： （1）求出函数f (x)的定义域； （2）求导数f ´(x)及函数f ´(x)的零点； （3）用f ´(x)的零点将f (x)的定义