5.3.2 课时2 函数的最大（小）值 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时2 函数的最大（小）值 学习目标 理解函数最值与极值的关系，会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 学习活动 目标：理解函数最值与极值的关系，会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 任务1：根据图象，归纳函数在闭区间内的最值与极值的关系. 问题1：找出上述2个图象的极值. 参考答案：图（1）：极大值：、、，极大值：、、. 图（2）：极大值：、、，极小值：、. 问题2：上述图象在内有最值吗？如果有，最值分别是什么？ 参考答案：有，图（1）最大值：，最小值：；图（2）最大值：，最小值：. 【归纳总结】 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 思考：闭区间内极小值一定是最小值吗？极大值一定是最大值吗？说明理由. 参考答案：不一定，极值描述的是函数的局部性质，即只描述极值点附近的性质，而最值是只整个闭区间内的最值，极值可以有多个，但是最值只有一个，因此极值不一定是最值，最值还与端点值有关. 任务2：求函数在给定区间内的最值. 求f (x)＝3x3－9x＋5在的最大值与最小值. 参考答案：　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表： x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ ↘ ↗ 从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时， 函数f (x)取得最小值－1. 当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11. 思考：如何求函数在区间内的最值？ 【归纳总结】 求函数在区间内的最值的步骤： （1） 求函数在区间内的极值； （2） 将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 练一练： 已知函数．求函数在区间，的最大值和最小值． 参考答案：解：， 由，得，或． 令，得或； 令，得， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以为的极大值，且 因为，（2）， 所以，，． 任务3：利用函数最值证明不等式. 证明：当， 提示1：上述能否将其转化为一个函数问题？ 参考答案：原式等价于当，. 提示2：如何证明上述不等式成立？ 参考答案：解：设，则.令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递减 单调递增 所以，当时，取得最小值，所以，所以，所以当，. 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1. 什么是函数的最值？ 2. 什么样的函数一定存在最值？ 3. 极值与最值有什么关系？如何求函数在闭区间的最值？ 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时2 函数的最大（小）值 学习目标 理解函数最值与极值的关系，会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 学习活动 目标：理解函数最值与极值的关系，会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 任务1：根据图象，归纳函数在闭区间内的最值与极值的关系. 问题1：找出上述2个图象的极值. 问题2：上述图象在内有最值吗？如果有，最值分别是什么？ 【归纳总结】 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 思考：闭区间内极小值一定是最小值吗？极大值一定是最大值吗？说明理由. 任务2：求函数在给定区间内的最值. 求f (x)＝3x3－9x＋5在的最大值与最小值. 思考：如何求函数在区间内的最值？ 【归纳总结】 求函数在区间内的最值的步骤： （1） 求函数在区间内的极值； （2） 将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 练一练： 已知函数．求函数在区间，的最大值和最小值． 任务3：利用函数最值证明不等式. 证明：当， 提示1：上述能否将其转化为一个函数问题？ 提示2：如何证明上述不等式成立？ 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1. 什么是函数的最值？ 2. 什么样的函数一定存在最值？ 3. 极值与最值有什么关系？如何求函数在闭区间的最值？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$