5.3.2 课时1 函数的极值学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的极值 学习目标 1.知道函数极值的有关概念，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.掌握求函数极值的步骤，会用导数求函数（其中多项式函数一般不超过三次）的极大值、极小值． 学习活动 导入：观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？ 目标一：知道函数极值的有关概念，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 任务1：探究函数高台跳水图象的性质. 问题.我们知道，当时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么此时时，其导数是多少？在此点附近其图象单调性是怎样的？相应的导数符号有什么变化？ 参考答案： 放大附近函数的图像，如图，可以看出；在附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有． 任务2：探究一般函数的导数正负规律. 问题1.如图，函数f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 参考答案：以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小；函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小； 问题2.函数f(x)在x=a，b，c，d，e等点的导数值是多少？在这些点附近，f(x)的导数正负性规律是怎样的？ 参考答案：以两点为例，函数在点的导数值，在点附近的左侧<0，右侧>0.类似地，函数在点的导数值为；而且在点附近的左侧>0，右侧<0. 【新知讲解】 在函数f(x)中，若，且在点附近的左侧<0，右侧>0时，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值； 若，且在点附近的左侧>0，右侧<0时，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质. 练一练： 下图是函数，的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 参考答案：解：图中,,是极小值，,,是极大值． 思考：函数的极大值一定大于极小值吗？ 参考答案：解：不一定，例如练一练中是函数的极小值，是函数的极大值，但是 目标二：掌握求函数极值的步骤，会用导数求函数（其中多项式函数一般不超过三次）的极大值、极小值． 任务：求具体函数的极值，并掌握求解方法. 求函数的极值. 提示：根据极值概念，说说如何判断函数的极值？ 参考答案：解：因为 的定义域为R，所以 . 令0,解得： 当变化时， ，的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，极大值为= 当时，有极小值，极小值为=- . 【新知讲解】 一般地，求函数的极值的步骤：  1.求出函数的定义域及导数；  2.解方程，得方程的根x0（可能不止一个）；  3.用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，，在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；  4.由在各个开区间内的符号，判断在的各个根处的极值情况： （1）如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值； （2）如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值； （3）如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 参考答案：不一定，例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论>0,还是<0，恒有>0，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点. 【归纳总结】 一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 练一练： 求函数y＝x3－3x2－9x＋5的极值. 参考答案：解：∵y′＝3x2－6x－9， 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： 极大值 极小值 ∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “极大值点”、“极大值”、“极小值点”、“极小值”“极值点”、“极值”. 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$