5.3.1 函数的单调性第2课时学案-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的单调性 学习目标 1.归纳导数判断函数单调性的步骤，能利用导数求函数（其中多项式函数一般不超过三次）的单调区间. 2.理解导数的绝对值大小与原函数的增减幅度的关系. 学习活动 导入：导数符号与原函数的单调性有什么关系？ 参考答案：在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递减． 目标一：归纳导数判断函数单调性的步骤，能利用导数求函数（其中多项式函数一般不超过三次）的单调区间. 任务：探究函数的单调性. 求函数的单调区间. 提示1：求，并画出的图象. 提示2：根据的图象，求函数的单调区间，并画出简图. 思考：结合上面求导判断函数单调性的过程，试归纳判断函数的单调性步骤. 【归纳总结】 判断函数的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 练一练： 求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间． 目标二：理解导数的绝对值大小与原函数的增减幅度的关系. 任务1：研究具体函数导数绝对值大小与原函数增减幅度的关系. 画出对数函数与幂函数在区间上的图象，说说它们的增长情况有什么特点？如何利用导数解释？ 【新知讲解】 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 任务2：利用导数根据图象判断函数. 设，，，两个函数的图象如图所示.判断，的图象与，之间的对应关系，并说明理由. 提示1.图象，有什么特点？它们有什么区别？ 【归纳总结】 1. 当x>0时，； 在很小时，. 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1. 如何利用导数判断函数单调性？ 2. 导数绝对大小与函数增减幅度有什么关系？ 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的单调性 学习目标 1.归纳导数判断函数单调性的步骤，能利用导数求函数（其中多项式函数一般不超过三次）的单调区间. 2.理解导数的绝对值大小与原函数的增减幅度的关系. 学习活动 导入：导数符号与原函数的单调性有什么关系？ 参考答案：在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递减． 目标一：归纳导数判断函数单调性的步骤，能利用导数求函数（其中多项式函数一般不超过三次）的单调区间. 任务：探究函数的单调性. 求函数的单调区间. 提示1：求，并画出的图象. 参考答案：函数的定义域为R. 对求导数，得，即函数顶点坐标为，令，可得或，即导函数与x轴相交于点（-1，0），（2，0），画出其图象. 提示2：根据的图象，求函数的单调区间，并画出简图. 参考答案：根据导函数图象可知，在和上，在上，其中在、时， 所以函数在和单调递增，在上单调递减. 参考答案：解：函数的定义域为R. 对求导数，得. 令，解得或. 和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示. 所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示. 思考：结合上面求导判断函数单调性的过程，试归纳判断函数的单调性步骤. 【归纳总结】 判断函数的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 练一练： 求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间． 参考答案：解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域，得下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 ∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 目标二：理解导数的绝对值大小与原函数的增减幅度的关系. 任务1：研究具体函数导数绝对值大小与原函数增减幅度的关系. 画出对数函数与幂函数在区间上的图象，说说它们的增长情况有什么特点？如何利用导数解释？ 参考答案：解：对数函数的导数为（），所以在区间上单调递增.当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图（1）. 幂函数的导数为（），所以在区间上单调递增. 当越来越大时，越来越大，函数递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图（2）. 【新知讲解】 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；