5.2.3 简单复合函数的导数 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

简单复合函数的导数 学习目标 1.知道复合函数的概念. 2.理解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如）的复合函数）的导数. 学习活动 导入：观察函数，它能利用导数的四则运算求导吗？ 目标一：知道复合函数的概念. 任务：探究函数的结构特征. 观察函数结构，说说它与对数函数有什么区别？它能由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到吗？ 【新知讲解】 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)) 练一练： 判断以下函数是否为复合函数？如果是，那么说明是由哪些函数复合而成的？ （1）； （2）； （3）. 目标二：理解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如）的复合函数）的导数. 任务1：求函数的导数，猜想复合函数求导法则. 分别求函数、、的导数、、，并思考三者导数之间有什么关系？ 【新知讲解】 复合函数求导法则. 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数之间的关系为： 也可以写成：. 任务2：求简单复合函数的导数. 求下列函数的导函数 （1） （2） 【归纳总结】 复合函数求导步骤： （1） 分解：选定中间变量，分解复合函数关系，即，； （2） 求导：分别求出，； （3） 回代：把中间变量带回原自变量的函数. 练一练： 求函数的导数． 任务3：利用复合函数求导法则求解实际问题中的函数导数，并解释其实际意义. 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 . 求函数在s时的导数，并解释它的实际意义. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复合函数”、“复合函数求导法则”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 简单复合函数的导数 学习目标 1.知道复合函数的概念. 2.理解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如）的复合函数）的导数. 学习活动 导入：观察函数，它能利用导数的四则运算求导吗？ 目标一：知道复合函数的概念. 任务：探究函数的结构特征. 观察函数结构，说说它与对数函数有什么区别？它能由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到吗？ 参考答案：是对数型函数，其真数不是自变量x，而是一次函数u=2x-1，其中，因此可以将函数看成是由函数与复合而成的函数. 【新知讲解】 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)) 练一练： 判断以下函数是否为复合函数？如果是，那么说明是由哪些函数复合而成的？ （1）； （2）； （3）. 参考答案：解：（1）是，，复合而成； （2）是，，复合而成； （3）不是，是由基本初等函数经过四则运算得到的. 目标二：理解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如）的复合函数）的导数. 任务1：求函数的导数，猜想复合函数求导法则. 分别求函数、、的导数、、，并思考三者导数之间有什么关系？ 参考答案：解：由题可知，，所以；；. 猜想：. 【新知讲解】 复合函数求导法则. 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数之间的关系为： 也可以写成：. 任务2：求简单复合函数的导数. 求下列函数的导函数 （1） （2） 参考答案：解：（1）函数可以看成是函数和函数的复合函数，根据复合函数求导法则，有.所以； （2）函数可以看成是函数、函数和函数的复合函数，根据复合函数求导法则，有.所以 . 【归纳总结】 复合函数求导步骤： （1） 分解：选定中间变量，分解复合函数关系，即，； （2） 求导：分别求出，； （3） 回代：把中间变量带回原自变量的函数. 练一练： 求函数的导数． 参考答案：解：函数可以看成是函数和函数的复合函数，根据复合函数求导法则，有，所以 . 任务3：利用复合函数求导法则求解实际问题中的函数导数，并解释其实际意义. 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 . 求函数在s时的导数，并解释它的实际意义. 参考答案：解： 可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 当时， 它表示当s时，弹簧振子振动的瞬时速度为mm/s. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复合函数”、“复合函数求导法则”. 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$