5.2.2 导数的四则运算法则 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的四则运算法则 学习目标 理解并掌握导数的四则运算法则，并能根据运算法则求简单函数的导数. 学习活动 导入：已知函数，那么等于什么呢？ 目标：理解并掌握导数的四则运算法则，并能根据运算法则求简单函数的导数. 任务1：探究与、的关系. 设，根据导数定义计算与，它们与和有什么关系？由此你能得出什么猜想？ 思考：如何证明上述猜想？ 【归纳总结】 函数和、差的求导运算法则. . 练一练： 求下列函数的导数： （1）；（2）. 任务2：探究与、的关系.. 问题1：设，根据导数定义计算与，它们与相等吗？ 问题2：设，根据导数定义计算与，它们与相等吗？ 【归纳总结】 函数积、商的求导运算法则： . 思考：根据导数的运算法则，、的导数是什么？ 练一练： 求函数的导数． 任务3：利用导数求解实际问题中的瞬时变化率问题. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 . 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）；（2）. 并由此能得到什么结论？ 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “导数的四则运算”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的四则运算法则 学习目标 理解并掌握导数的四则运算法则，并能根据运算法则求简单函数的导数. 学习活动 导入：已知函数，那么等于什么呢？ 目标：理解并掌握导数的四则运算法则，并能根据运算法则求简单函数的导数. 任务1：探究与、的关系. 设，根据导数定义计算与，它们与和有什么关系？由此你能得出什么猜想？ 参考答案：（1）设，因为 ，所以 ； ，，所以. 同理可知， 思考：如何证明上述猜想？ 参考答案：（1）设，因为 ，所以 ； 同理可证，. 【归纳总结】 函数和、差的求导运算法则. . 练一练： 求下列函数的导数： （1）；（2）. 参考答案：解：（1）； （2） 任务2：探究与、的关系.. 问题1：设，根据导数定义计算与，它们与相等吗？ 参考答案：（1）设，所以，而， 所以. 问题2：设，根据导数定义计算与，它们与相等吗？ 参考答案：（1）设，所以，而， 所以. 【归纳总结】 函数积、商的求导运算法则： . 思考：根据导数的运算法则，、的导数是什么？ 参考答案：解：（1）；（2） . 练一练： 求函数的导数． 参考答案：解：（1） ． （2） ． 任务3：利用导数求解实际问题中的瞬时变化率问题. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 . 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）；（2）. 并由此能得到什么结论？ 参考答案：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. . （1）因为，所以，净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨. （2）因为，所以，净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨. 结论：水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “导数的四则运算”. 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$