4.4数学归纳法第2课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时2 数学归纳法 学习目标 1.明确数列问题解决的重要方法——“归纳—猜想—证明”. 学习活动 目标：明确数列问题解决的重要方法——“归纳—猜想—证明”. 任务1：利用数学归纳法证明命题. 用数学归纳法证明：. 提示1：该问题中，数学归纳法证明的关键步骤是哪一步？ 参考答案：数学归纳法证明的第二步“若当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，等式也成立”. 提示2：假设n=k时成立，再推导n=k+1时，式子增加了哪些项？ 参考答案： 参考答案：证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=，所以等式成立； （2） 假设当时，等式成立，即，则当时，左边 =右边 【归纳总结】 用数学归纳法证明与正整数有关的命题方法： 1.“看项”，弄清等式两边构成规律，明确由n=k到n=k+1时，等式两边增加项数； 2.“两凑”，（1）凑假设，将n=k+1时的式子转化成与归纳假设结构相同的形式；（2）凑结论，利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论. 任务2：根据递推关系猜想数列通项公式并用数学归纳法证明. 已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 问题1.如何进行猜想？ 参考答案：由， 可知，，解得，同理可求得，，，猜想：. 问题2：如何利用数学归纳法进行证明. 参考答案：证明：（1）当n=1时，有，显然成立； （2）假设当n=k时，成立，将代入递推关系式，可得，即，即当n=k+1时，猜想也成立； 由（1）（2）可知，猜想对任意都成立. 【归纳总结】 “归纳——猜想——证明”的一般步骤： （1） 计算（根据条件，计算若干项）； （2） 归纳猜想（通过观察、分析猜想结论）； （3） 证明（用数学归纳法证明注意两步缺一不可）. 练一练： 已知数列的前n项和为，计算，，，，试猜想的表达式，并证明你的猜想. 参考答案：由题意可知，, ,,由此可猜想：. 证明：（1）当n=1时，有，显然成立； （2）假设当n=k时，成立，则当n=k+1时， ，所以当n=k+1时，假设成立； 由（1）（2）可知，成立. 学习总结 任务：构建用“归纳——猜想——证明”求解数列相关问题的结构图. 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$