4.4数学归纳法第1课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时1 数学归纳法 学习目标 1. 了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的概念，掌握用数学归纳法证明的一般步骤. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 学习活动 导入：以为首项，d为公差的等差数列中，，依次类推，可得，即等差数列的通项公式.那么如何证明呢？ 目标一：了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的概念，掌握用数学归纳法证明的一般步骤. 任务1：阅读材料，理解多米诺骨牌的原理. 材料.对于多米诺骨牌游戏来说，首先码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 问题1：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 参考答案：（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 参考答案：可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下. 任务2：应用多米诺骨牌的原理，探究下列通项公式的证明. 探究：已知数列满足，，计算. 参考答案： 因为，，所以； ，，所以； ，，所以； 问题1：根据上述各项的值，猜想该数列的通项公式是什么？如何验证？ 参考答案：猜想：通项公式：. 验证： ； ； ； … … ； 思考1：上述迭代进行的关键是什么？ 参考答案：依托递推关系式：， 思考2：类比多米诺骨牌的原理，在该问题中怎样理解原理中的第（2）条“当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下.” 参考答案：假设当n=k时，有，则当n=k+1时，有. 思考3：结合多米诺的两个原理：“（1）第一块骨牌倒下；（2）“当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下.”如何证明猜想？ 参考答案：证明：（1）当n=1时，有 （2）不妨设当n=k时猜想成立, 即 ,则当n=k+1时，有 ，即当n=k+1.猜想也成立； 有（1）（2）可知，该数列的通项公式是. 思考4：“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”有什么关系？ 参考答案： 骨牌原理 猜想的证明步骤 ①第一块骨牌已经倒下 ①证明n=1时，猜想正确 ②证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下” ②证明“如果n=k时猜想成立，则n=k+1时，猜想也成立” 根据①②，所有骨牌都能倒下 根据①②，这个猜想对一切正整数n都成立 【归纳总结】 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 思考5：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？二者之间存在什么关系？ 参考答案：关系：记P(n)是一个关于正整数n的命题.因此用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真. 结论：P(n)为真. 数学归纳法的两步： (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真. 只要完成这两步，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明. 因此两个步骤很有必要，缺一不可. 目标二：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 任务：用数学归纳法证明下列命题. 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么， = ① 对任何都成立. 提示1：第一步是要证明什么？ 提示2：第二步是证明什么？ 参考答案：证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即= 根据等差数列的定义，有 于是 即当时， ①式也成立， 由（1）（2）可知， ①式对任何都成立. 练一练：用数学归纳法证明：首项为，公比为q的等比数列的通项公式是 ①. 参考答案：证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即 根据等比数列的定义，有. 于是即当时， ①式也成立， 由（1）（2）可知， ①式对任何都成立，即命题得证. 学习总结 任务：构建用数学归纳法证明“一个与正整数有关的命题”的结构图. 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$