2024年苏科版九年级中考数学提优几何模型15：加权求线段和最值问题（二）

冲刺中考 中考提优几何模型十五求加权线段和最值问题（二） 模型2;用阿氏圆模型 求加权线段和最值 几何专题十五：求加权线段和最值问题（二） 模型2：运用“阿氏圆”模型求解加权线段和问题 【模型解析】 “阿氏圆”模型——“”型最值 ◆条件：A、B为定点，P为⊙O上的一个动点， ◆问题：求的最小值，并画出点P的位置 ◆方法：连接OP，OB，在OB上取一点C，使易证△POC∽△BOP，所以，所以.所以，当P为AC与⊙O的交点时，的最小值为AC. 【典型例题】 【例1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，满足CD=2，求AD+的最小值. 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP． 求①AP+BP； ②2AP+BP； ③AP+BP； ④AP+3BP的最小值． 作业训练 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，最小值为 . 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则的最小值是 . D C B A 3.如图，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求的最小值为 . 4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为　 　． 5.如图，已知圆O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点试求的最小值. 6.如图，已知点A（4,0），B（4,4），点P为半径为2的圆O上运动，试求的最小值. 7.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A、B，则所有符合（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设，求PC+kPD的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）： 解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k， 又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP． 任务： （1）将以上解答过程补充完整． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值． 8.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，连接AB、BP，求的最小值. 尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有,又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，,∴ （1）请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 . （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为 . （3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值. 9.（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值； （2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么的最小值为　 　，的最大值为　 　． （3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么的最小值为　 　，的最大值为　 　． 10.如图，抛物线与直线AB交于A（-4，-4），B（0,4）两点，直线AC：交于轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥轴交AC于点F，交抛物线于点G. （1）求抛物线的表达式； （2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为定点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求的最小值. 几何专题十五：求加权线段和最值问题（二） 模型2：运用“阿氏圆”模型求解加权线段和问题 【模型解析】 “阿氏圆”模型——“”型最值 ◆条件：A、B为定点，P为⊙O上的一