2024年九年级中考数学总复习课件 第6节　二次函数的综合应用

第六节　二次函数的综合应用 1 考点1线段、周长问题 【技能储备】 如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,点P是抛物线第一象限内的一个动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交直线BC于点Q.则点A的坐标为　(-1,0)　;点B的坐标为　(3,0)　;点C的坐标为　(0,3)　;点M的坐标为　(1,4)　;对称轴为直线　x=1　,直线BC的解析式为　y=-x+3　.  核心知识·夯基础 (1)设点的坐标:设点P的横坐标为a. ①点P的坐标为　(a,-a2+2a+3)　,点Q的坐标可表示为　(a,-a+3)　,点H的坐标可表示为　(a,0)　,点P(在对称轴的右侧时)关于抛物线对称轴对称的点的坐标可表示为　(2-a,-a2+2a+3)　;  ②设点N是抛物线对称轴上一点,且纵坐标为n,则点N的坐标可表示为　(1,n)　;  ③设点E是x轴上一点,点E的横坐标为e,过点E作EF∥y轴交抛物线于点F,则点F的坐标可表示为　(e,-e2+2e+3)　.  方法总结➡(1)与x轴垂直的线段的长:纵坐标相减(上减下);(2)与y轴垂直的线段的长:横坐标相减(右减左);(3)斜线段时,可过线段端点分别向两坐标轴作垂线,构造直角三角形,利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解. 【技能应用】 1.(2023·揭阳普宁一模)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.   (1)求该抛物线的解析式. (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点,点F是抛物线的顶点,求EF的长. 解:(1)将A(-1,0),B(3,0)的坐标代入y=x2+bx+c, ∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线的顶点F的坐标为(1,-4),抛物线的对称轴为直线x=1. 当x=0时,y=02-2×0-3=-3,∴点C的坐标为(0,-3). 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),将B(3,0),C(0,-3)的坐标代入y=mx+n, ∴直线BC的解析式为y=x-3. 当x=1时,y=1-3=-2,∴点E的坐标为(1,-2). ∴EF=|-2-(-4)|=2. 2.(2023·张家界节选)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)和B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点.   (1)求二次函数的解析式. (2)如图,求△AOD周长的最小值. (2)如图,作点O关于直线BC的对称点E,连接EC,EB. ∵B(6,0),C(0,6),∠BOC=90°,∴OB=OC=6. ∵O,E关于直线BC对称, ∴四边形OBEC为正方形.∴E(6,6). 连接AE,交BC于点D,由对称性得DE=DO, 此时DO+DA有最小值为AE的长, ∵△AOD的周长为DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10, ∴△AOD的周长的最小值为10+2=12. 考点2图形面积问题 【技能储备】 1.如图,当三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)时,可直接运用三角形的面积公式S= AB·h求解. 2.求抛物线内接三角形面积的两种常用方法: (1)分割法:如图1,S△ABC= |xC-xB|·h,即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. (2)补全法:如图2,S△ABC=S四边形BCED―S△ADB―S△AEC,也可构造矩形求解. 【技能应用】 3.(2022·广东)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.   (1)求该抛物线的解析式. (2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标. 解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4, ∴B(-3,0).把A,B两点坐标代入解析式, ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)过Q作QE⊥x轴于点E,过C作CF⊥x轴于点F,如图. 设P(m,0),则PA=1-m. ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴C(-1,-4),∴CF=4. ∵PQ∥BC,∴△PQA∽△BCA, ∵-3≤m≤1,∴当m=-1时,S△CPQ有最大值2, ∴△CPQ面积的最大值为2,此时P点坐标为(-1,0). 4.(2023·黑龙江)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC= S△ABC?若存在,请直接写出点P