4.3.2课时2 等比数列的前n项和公式学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的前n项和公式 学习目标 1.能发现问题中的等比关系，利用等比数列前n项和公式求解. 2.理解分组求和，并能利用分组求和方法解决差比混合数列的求和问题. 3.理解构造法，能通过构造法解决相关数列求和问题. 学习活动 导入： 1. 等比数列前n项和公式有哪些？ 2. 在求解等比数列前n项和时，要注意什么问题？ 参考答案： 1. 2. 注意对公比，的讨论. 目标一：能发现问题中的等比关系，利用等比数列前n项和公式求解. 任务：阅读材料，回答下列问题. 材料1.如图，正方形 的边长为，取正方形各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. 问题1：设正方形的面积为，正方形FGH面积为，正方形IJKL面积为，然后依次类推，判断数列是什么数列？ 参考答案：（1）等比数列.理由：由题意可知，，同理有. 因此，根据等比数列的定义，有数列是以25为首项，为公比的等比数列. 问题2：从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是多少？ 参考答案：根据等比数列前n项和公式，有. 问题3： 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 参考答案：根据等比数列前n项和公式，有.根据指数函数的性质，有随着n无限增大，趋近于0，即趋近于50.所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 思考：利用等比数列前n项和求解相关实际问题的步骤有哪些？ 【归纳总结】 解决数列应用题方法步骤： 1.明确问题类型，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 2.明确是求，还是求；其中细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． 练一练： 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入． 参考答案：解：由题意知第1年投入800万元， 第2年投入万元， …… 第n年投入万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列． 所以n年内的总投入Sn＝800＋＋…＋＝(万元)． 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为万元， …… 第n年旅游业的收入为万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400， 公比为的等比数列． 所以n年内旅游业的总收入 Tn＝400＋＋…＋＝(万元)． 故n年内的总投入为万元， n年内旅游业的总收入为万元． 目标二：理解分组求和，并能利用分组求和方法解决差比混合数列的求和问题. 任务：阅读材料，抽象出相应数列问题，利用分组求和方法求解. 材料2.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 问题1：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，则与分别是什么类型数列？ 参考答案：解：由题可知，=20, =6+1.5 所以是以20（1+5%）为首项，公比为（1+5%）的等比数列，是以6+1.5为首项，公差为1.5的等差数列. 问题2：从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量表达式是什么？ 参考答案：= 问题3：从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量是多少？（精确到0.1万吨）. 参考答案： 当时，. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 思考：若数列是等比数列，数列是等差数列，则如何求数列或的前n项和？ 【归纳总结】 分组求和： (1)求形如的前n项和公式，其中与是等差数列或等比数列； (2) 将等差数列和等比数列分开分组： ； (3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算. 练一练： 1. 计算 参考答案：解：原式 目标三：理解构造法，能通过构造法解决相关数列求和问题. 任务：阅读材料，探究构造法求数列前n项和. 材料3.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 问题1：与之间有什么关系，如何用式子表示？ 参考答案：解：由题意，得并且 问题2：如何将问题1中的递推关系式表示成 的形式，其中, 为常数？ 参考答案：解：将问题1的式子化简，可得①，不妨设存在k使得，将其变形，可知②，比较①②的系数，可得0.08k=100,解得k=1250.所以问题1中的递推关系式可化为 问题3：根据问题2，如何=的值（精确到1）？ 参考答案：解：因为，且，所以数列是以-50为首项，